자연계열 4번

[4–1] 평면 $\displaystyle S(\theta)$는 점 $\displaystyle (0,0,1)$을 지나고 그림과 같이 법선벡터 $\displaystyle \vec n=(0,\cos\theta,\sin\theta)$이므로평면 $\displaystyle S(\theta)$의 방정식은 $\displaystyle (\cos\theta)y+(\sin\theta)(z-1)=0$이다. $\displaystyle \sin\theta\ne0\left(\frac\pi4<\theta<\frac\pi2\right)$이므로 양변을 $\displaystyle \sin\theta$로 나누면 $\displaystyle (\cot\theta)y+(z-1)=0$, 즉, $\displaystyle (\cot\theta)y+z=1$을 얻는다.

[4–2] $\displaystyle \begin{aligned}D&=2\overline{\mathrm{AP}}^2-\overline{\mathrm{BP}}^2\\&=2[x^2+(y-1)^2+(z-2)^2]-[x^2+(y-3)^2+(z-3)^2]\\&=x^2+y^2+z^2+2y-2z-8\\&=x^2+(y+1)^2+(z-1)^2-10\end{aligned}$이다. 그런데 $\displaystyle \mathrm P(x,y,z)$가 평면 $\displaystyle S\left(\frac\pi3\right)$위의 점이므로 [4–1]에 의하여 $\displaystyle \left(\cot\frac\pi3\right)y+z=1$,즉, $\displaystyle \frac y{\sqrt3}+z=1$을 만족한다. 따라서$\displaystyle D=x^2+(y+1)^2+\frac{y^2}3-10=x^2+\frac43\left(y+\frac34\right)^2-\frac{39}4$이 되어$\displaystyle D$의 최솟값은 $\displaystyle -\frac{39}4$이고 이 때의 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(0,-\frac34,1+\frac{\sqrt3}4\right)$이다.

[4–3] 두 교점 $\displaystyle \mathrm R_1,\mathrm R_2$가 $\displaystyle yz$평면 위에 있으므로 $\displaystyle \mathrm R_1(y_1,z_1)$, $\displaystyle \mathrm R_2(y_2,z_2)$라 하자(단, $\displaystyle y_1<y_2$).

$\displaystyle \mathrm R_1$은 $\displaystyle z=-(\cot\theta)y+1$과 $\displaystyle z=\sqrt3y+\sqrt3$의 교점이므로 $\displaystyle y_1=-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+\cot\theta}$이다.한편 $\displaystyle \mathrm R_2$는 $\displaystyle z=-(\cot\theta)y+1$과 $\displaystyle z=-\sqrt3y+\sqrt3$의 교점이므로 $\displaystyle y_2=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-\cot\theta}$이다.따라서 $\displaystyle y_2-y_1=\frac{2(3-\sqrt3)}{3-\cot^2\theta}$이다.제시문 [나]의 정사영의 정의를 활용하면 $\displaystyle l(\theta)\cdot\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=y_2-y_1$이므로$\displaystyle l(\theta)=\frac{y_2-y_1}{\sin\theta}=\frac{2(3-\sqrt3)}{(3-\cot^2\theta)\sin\theta}$이다.

[4–4] $\displaystyle \frac\pi4<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle y=\cot\theta$는 감소함수, $\displaystyle y=\sin\theta$는 증가함수이므로$\displaystyle l(\theta)=\frac{2(3-\sqrt3)}{(3-\cot^2\theta)\sin\theta}$는 감소함수가 되어 일대일대응이다. 따라서 $\displaystyle \frac\pi4<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle l(\theta)$의 역함수가 존재한다. $\displaystyle l^{-1}(\alpha)=\frac\pi3$이므로 $\displaystyle l\left(\frac\pi3\right)=\alpha$이다. 따라서 역함수의 미분법에 의하여$\displaystyle (l^{-1})^{\prime}(\alpha)=\frac1{l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)}$이다. 이제 $\displaystyle l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)$를 구해보자.제시문 [다]를 사용하여, 양변에 자연로그를 취하면$\displaystyle \ln l(\theta)=\ln(2(3-\sqrt3))-\ln(3-\cot^2\theta)-\ln(\sin\theta)$이고 이 식의 양변을 미분하면$\displaystyle \frac{l^{\prime}(\theta)}{l(\theta)}=-\frac{2\cot\theta\csc^2\theta}{3-\cot^2\theta}-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=-\cot\theta\left(\frac{2\csc^2\theta}{3-\cot^2\theta}+1\right)$이다.따라서 $\displaystyle l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)=l\left(\frac\pi3\right)\cdot\left(-\frac2{\sqrt3}\right)=\frac{\sqrt3(3-\sqrt3)}2\cdot\left(-\frac2{\sqrt3}\right)=\sqrt3-3$이고$\displaystyle (l^{-1})^{\prime}(\alpha)=\frac1{l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)}=\frac1{\sqrt3-3}$이다.