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자연계열 4번

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서강대 2017학년도 수시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/sogang/2017su/jayeon_4

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문제

[가] 점 P(x1,y1,z1)\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1,z_1)을 지나고, 영벡터가 아닌 벡터 n⃗=(a,b,c)\displaystyle \vec n=(a,b,c)에 수직인 평면의 방정식은 a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0이다.

[나] 선분 AB의 평면 α\displaystyle \alpha위로의 정사영을 선분 A′B′이라 하고, 직선 AB와 평면 α\displaystyle \alpha가 이루는 각의 크기를 θ(0≤θ≤π2)\displaystyle \theta\left(0\le\theta\le\frac\pi2\right)라고 하면 A′B′‾=AB‾cos⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{A^{\prime}B^{\prime}}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta이다.

[다] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 미분가능하고 f(x)≠0\displaystyle f(x)\ne0일때, 로그함수의 미분법을 이용하여 여러 함수의 곱 또는 몫의 미분을 간단하게 계산할 수 있다. 예를 들어,f(x)=u(x)v(x)w(x)\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)w(x)}의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.양변의 절댓값에 자연로그를 취하면ln⁡∣f(x)∣=ln⁡∣u(x)∣−ln⁡∣v(x)∣−ln⁡∣w(x)∣\displaystyle \ln|f(x)|=\ln|u(x)|-\ln|v(x)|-\ln|w(x)|이다.양변을 x\displaystyle x에 대하여 미분한 후 정리하면 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)를 구할 수 있다.

제시문을 참고하여 다음 물음에 답하여라.

아래 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 1\displaystyle 1이고 높이가 3\displaystyle \sqrt3인 원뿔이 xy\displaystyle xy평면 위에 밑면의 중심이 원점 O에 오도록 놓여 있다. 원뿔 안의 점 Q(0,0,1)\displaystyle \mathrm Q(0,0,1)을 지나고 yz\displaystyle yz평면에 수직이며, xz\displaystyle xz평면과 이루는 각의 크기가 θ(π4<θ<π2)\displaystyle \theta\left(\frac\pi4<\theta<\frac\pi2\right)인 평면을 S(θ)\displaystyle S(\theta)라 하자.

원뿔 안의 점 Q를 지나는 평면 S(θ)와 원뿔의 단면

[4–1] 평면 S(θ)\displaystyle S(\theta)의 방정식은 (cot⁡θ)y+z=1\displaystyle (\cot\theta)y+z=1임을 보여라.

[4–2] 좌표공간에 두 점 A(0,1,2)\displaystyle \mathrm A(0,1,2)와 B(0,3,3)\displaystyle \mathrm B(0,3,3)이 주어졌다. 평면 S(π3)\displaystyle S\left(\frac\pi3\right)위의 점 P(x,y,z)\displaystyle \mathrm P(x,y,z)에 대하여D=2AP‾2−BP‾2\displaystyle D=2\overline{\mathrm{AP}}^2-\overline{\mathrm{BP}}^2의 최솟값과 이 때의 점 P의 좌표를 구하여라.

[4–3] 원뿔과 yz\displaystyle yz평면 그리고 평면 S(θ)\displaystyle S(\theta)의 교점 R1\displaystyle \mathrm R_1과 R2\displaystyle \mathrm R_2를 잇는 선분의 길이 l(θ)\displaystyle l(\theta)를 구하여라.

[4–4] π4<θ<π2\displaystyle \frac\pi4<\theta<\frac\pi2에서 l(θ)\displaystyle l(\theta)의 역함수가 존재함을 보이고, l−1(α)=π3\displaystyle l^{-1}(\alpha)=\frac\pi3를 만족하는 α\displaystyle \alpha에 대하여 (l−1)′(α)\displaystyle (l^{-1})^{\prime}(\alpha)의 값을 구하여라.

해설강의 준비중

서강대 2017학년도 수시 자연계열 4번 · mathesis.kr/archive/sogang/2017su/jayeon_4

4-1 · 평면의 법선벡터를 이해하고 이를 이용하여 평면의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.

[4–1] 평면 S(θ)\displaystyle S(\theta)는 점 (0,0,1)\displaystyle (0,0,1)을 지나고 그림과 같이 법선벡터 n⃗=(0,cos⁡θ,sin⁡θ)\displaystyle \vec n=(0,\cos\theta,\sin\theta)이므로평면 S(θ)\displaystyle S(\theta)의 방정식은 (cos⁡θ)y+(sin⁡θ)(z−1)=0\displaystyle (\cos\theta)y+(\sin\theta)(z-1)=0이다. sin⁡θ≠0(π4<θ<π2)\displaystyle \sin\theta\ne0\left(\frac\pi4<\theta<\frac\pi2\right)이므로 양변을 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta로 나누면 (cot⁡θ)y+(z−1)=0\displaystyle (\cot\theta)y+(z-1)=0, 즉, (cot⁡θ)y+z=1\displaystyle (\cot\theta)y+z=1을 얻는다.

원뿔을 자르는 평면 S(θ)의 법선벡터와 각 θ
4-2 · 두 점 사이의 거리를 이해하고 이차식의 최솟값을 구할 수 있는지 평가한다.

[4–2] D=2AP‾2−BP‾2=2[x2+(y−1)2+(z−2)2]−[x2+(y−3)2+(z−3)2]=x2+y2+z2+2y−2z−8=x2+(y+1)2+(z−1)2−10\displaystyle \begin{aligned}D&=2\overline{\mathrm{AP}}^2-\overline{\mathrm{BP}}^2\\&=2[x^2+(y-1)^2+(z-2)^2]-[x^2+(y-3)^2+(z-3)^2]\\&=x^2+y^2+z^2+2y-2z-8\\&=x^2+(y+1)^2+(z-1)^2-10\end{aligned}이다. 그런데 P(x,y,z)\displaystyle \mathrm P(x,y,z)가 평면 S(π3)\displaystyle S\left(\frac\pi3\right)위의 점이므로 [4–1]에 의하여 (cot⁡π3)y+z=1\displaystyle \left(\cot\frac\pi3\right)y+z=1,즉, y3+z=1\displaystyle \frac y{\sqrt3}+z=1을 만족한다. 따라서D=x2+(y+1)2+y23−10=x2+43(y+34)2−394\displaystyle D=x^2+(y+1)^2+\frac{y^2}3-10=x^2+\frac43\left(y+\frac34\right)^2-\frac{39}4이 되어D\displaystyle D의 최솟값은 −394\displaystyle -\frac{39}4이고 이 때의 점 P의 좌표는 (0,−34,1+34)\displaystyle \left(0,-\frac34,1+\frac{\sqrt3}4\right)이다.

4-3 · 직선의 방정식, 두 직선의 교점 및 두 점 사이의 거리를 구할 수 있으며 선분의 정사영을 이해하는지 평가한다.

[4–3] 두 교점 R1,R2\displaystyle \mathrm R_1,\mathrm R_2가 yz\displaystyle yz평면 위에 있으므로 R1(y1,z1)\displaystyle \mathrm R_1(y_1,z_1), R2(y2,z2)\displaystyle \mathrm R_2(y_2,z_2)라 하자(단, y1<y2\displaystyle y_1<y_2).

yz평면 위 원뿔의 두 모선과 평면의 교선이 만나는 R1, R2

R1\displaystyle \mathrm R_1은 z=−(cot⁡θ)y+1\displaystyle z=-(\cot\theta)y+1과 z=3y+3\displaystyle z=\sqrt3y+\sqrt3의 교점이므로 y1=−3−13+cot⁡θ\displaystyle y_1=-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+\cot\theta}이다.한편 R2\displaystyle \mathrm R_2는 z=−(cot⁡θ)y+1\displaystyle z=-(\cot\theta)y+1과 z=−3y+3\displaystyle z=-\sqrt3y+\sqrt3의 교점이므로 y2=3−13−cot⁡θ\displaystyle y_2=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3-\cot\theta}이다.따라서 y2−y1=2(3−3)3−cot⁡2θ\displaystyle y_2-y_1=\frac{2(3-\sqrt3)}{3-\cot^2\theta}이다.제시문 [나]의 정사영의 정의를 활용하면 l(θ)⋅cos⁡(π2−θ)=y2−y1\displaystyle l(\theta)\cdot\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=y_2-y_1이므로l(θ)=y2−y1sin⁡θ=2(3−3)(3−cot⁡2θ)sin⁡θ\displaystyle l(\theta)=\frac{y_2-y_1}{\sin\theta}=\frac{2(3-\sqrt3)}{(3-\cot^2\theta)\sin\theta}이다.

4-4 · 삼각함수의 성질, 역함수의 존재성, 역함수의 미분법 및 로그함수의 미분법을 이해하는지 평가한다.

[4–4] π4<θ<π2\displaystyle \frac\pi4<\theta<\frac\pi2에서 y=cot⁡θ\displaystyle y=\cot\theta는 감소함수, y=sin⁡θ\displaystyle y=\sin\theta는 증가함수이므로l(θ)=2(3−3)(3−cot⁡2θ)sin⁡θ\displaystyle l(\theta)=\frac{2(3-\sqrt3)}{(3-\cot^2\theta)\sin\theta}는 감소함수가 되어 일대일대응이다. 따라서 π4<θ<π2\displaystyle \frac\pi4<\theta<\frac\pi2에서 l(θ)\displaystyle l(\theta)의 역함수가 존재한다. l−1(α)=π3\displaystyle l^{-1}(\alpha)=\frac\pi3이므로 l(π3)=α\displaystyle l\left(\frac\pi3\right)=\alpha이다. 따라서 역함수의 미분법에 의하여(l−1)′(α)=1l′(π3)\displaystyle (l^{-1})^{\prime}(\alpha)=\frac1{l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)}이다. 이제 l′(π3)\displaystyle l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)를 구해보자.제시문 [다]를 사용하여, 양변에 자연로그를 취하면ln⁡l(θ)=ln⁡(2(3−3))−ln⁡(3−cot⁡2θ)−ln⁡(sin⁡θ)\displaystyle \ln l(\theta)=\ln(2(3-\sqrt3))-\ln(3-\cot^2\theta)-\ln(\sin\theta)이고 이 식의 양변을 미분하면l′(θ)l(θ)=−2cot⁡θcsc⁡2θ3−cot⁡2θ−cos⁡θsin⁡θ=−cot⁡θ(2csc⁡2θ3−cot⁡2θ+1)\displaystyle \frac{l^{\prime}(\theta)}{l(\theta)}=-\frac{2\cot\theta\csc^2\theta}{3-\cot^2\theta}-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=-\cot\theta\left(\frac{2\csc^2\theta}{3-\cot^2\theta}+1\right)이다.따라서 l′(π3)=l(π3)⋅(−23)=3(3−3)2⋅(−23)=3−3\displaystyle l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)=l\left(\frac\pi3\right)\cdot\left(-\frac2{\sqrt3}\right)=\frac{\sqrt3(3-\sqrt3)}2\cdot\left(-\frac2{\sqrt3}\right)=\sqrt3-3이고(l−1)′(α)=1l′(π3)=13−3\displaystyle (l^{-1})^{\prime}(\alpha)=\frac1{l^{\prime}\left(\frac\pi3\right)}=\frac1{\sqrt3-3}이다.

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