자연계열 2번

[2–1] 먼저 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 구와 두 점 $\displaystyle \left(\frac12,1,-\frac12\right)$과 $\displaystyle (0,3,0)$을 지나는 직선의 교점을 구하자. 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac x{\frac12}=\frac{y-3}{-2}=\frac z{-\frac12}$이므로 $\displaystyle \frac x{\frac12}=\frac{y-3}{-2}=\frac z{-\frac12}=k$라 놓으면 직선 위의 점은 $\displaystyle x=\frac k2,y=-2k+3,z=-\frac k2$로 나타내어진다. 이를 구의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$에 대입하면 $\displaystyle \left(\frac k2\right)^2+(-2k+3)^2+\left(-\frac k2\right)^2=1$이 되어 $\displaystyle k=\frac43$이다.따라서 점 A의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac23,\frac13,-\frac23\right)$이 되고 점 A에서 구에 접하는 평면의 방정식은 $\displaystyle \frac23\left(x-\frac23\right)+\frac13\left(y-\frac13\right)-\frac23\left(z+\frac23\right)=0$, 즉 $\displaystyle 2x+y-2z=3$이다.

[2–2] 시각 $\displaystyle t$초에서 전파송신기의 위치는 $\displaystyle (0,3,t)$이므로 전파가 도달하지 못하는 구 위의 점은 구와 두 점 $\displaystyle (0,2,0)$과 $\displaystyle (0,3,t)$를 지나는 직선의 교점 중 $\displaystyle y$좌표가 큰 것이다. (그림 1 참고)

$\displaystyle (0,2,0)$과 $\displaystyle (0,3,t)$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle x=0,\frac{y-2}1=\frac zt$이므로 $\displaystyle \frac{y-2}1=\frac zt=k$라 놓으면 직선 위의 점은 $\displaystyle x=0,y=k+2,z=tk$로 나타내어진다. 이를 구의 방정식 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$에 대입하면, $\displaystyle (k+2)^2+t^2k^2=1$, 즉, $\displaystyle (t^2+1)k^2+4k+3=0$을 얻는다.따라서 $\displaystyle k=\frac{-2t\pm\sqrt{-3t^2+1}}{t^2+1}$인데 구와 직선의 두 교점 중 $\displaystyle y$좌표가 큰 것이 우리가 구하고자 하는 점이므로 $\displaystyle y=k+2$로부터 $\displaystyle k=\frac{-2+\sqrt{-3t^2+1}}{t^2+1}$임을 알 수 있다.Correction. 첫 번째 근의 공식에서 분자의 $\displaystyle -2t$는 $\displaystyle -2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 $\displaystyle v_y(t)=\frac{dy}{dt}=\frac{dk}{dt}=\frac{\left(\frac{-6t}{2\sqrt{-3t^2+1}}\right)(t^2+1)-(-2+\sqrt{-3t^2+1})\cdot2t}{(t^2+1)^2}$가 되어 $\displaystyle v_y\left(\frac12\right)=-\frac{36}{25}$이다.

[2–3] 시각 $\displaystyle t$초에서 전파송신기가 위치하는 점 P의 좌표는 $\displaystyle (0,t+3,0)$이다. 원점과 평면 $\displaystyle \beta$의 거리 $\displaystyle d$를 구하기 위하여 그림 2와 같이 $\displaystyle yz$평면 위에서 생각하자.

점 P를 지나면서 원에 접하는 한 점을 Q라 하고 점 Q에서 $\displaystyle y$축에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\displaystyle d=\overline{\mathrm{OH}}$이다. 이때 삼각형 OHQ와 OQP는 서로 닮은 삼각형이므로 $\displaystyle d:1=1:(t+3)$이 되어 $\displaystyle d=\frac1{t+3}$이다.$\displaystyle \frac1{t+3}\le y\le1$에 대하여 구를 $\displaystyle y$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이는 $\displaystyle \pi(1-y^2)$이므로 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$로 둘러싸인 입체의 부피는$\displaystyle \int_{\frac1{t+3}}^1\pi(1-y^2)\,dy=\pi\Biggl[y-\frac{y^3}3\Biggr]_{\frac1{t+3}}^1=\pi\left(\frac23-\frac1{t+3}+\frac1{3(t+3)^3}\right)$이다. (그림 3 참고)

[2–4] B가 지나는 점들은 직선 $\displaystyle l$로부터 거리가 일정한 구 위의 점이므로 원을 이룬다. $\displaystyle t=0$일 때 B의 위치가 $\displaystyle (0,0,1)$이고 직선 $\displaystyle l$의 방정식이 $\displaystyle x=0,y=z$이기 때문에 이 원은 그림 4와 같이 두 점 $\displaystyle (0,0,1)$과 $\displaystyle (0,1,0)$을 잇는 선분을 지름으로 하고 벡터 $\displaystyle (0,1,1)$에 수직인 평면 위에 놓이고원의 중심 C의 좌표는 $\displaystyle \left(0,\frac12,\frac12\right)$이며 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt2}2$이다.

한편, 전파송신기의 위치가 $\displaystyle (2,0,0)$이므로 문제 [2–3]에서와 같은 방법으로 계산하면 H의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac12,0,0\right)$이다. (그림 5 참고)

따라서 구하고자 하는 곡선의 부분은 원 C를 평면 $\displaystyle x=\frac12$로 잘랐을 때 $\displaystyle x\ge\frac12$인 부분이다. 이를 평면 위에 그려보면 그림 6과 같으며 빗금 친 부채꼴의 호가 구하고자 하는 곡선의 부분이다.

따라서 부채꼴의 중심각을 $\displaystyle 2\theta$라 놓으면 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}2}=\frac{\sqrt2}2$가 되어 $\displaystyle \theta=\frac\pi4$이므로 호의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2\cdot\frac\pi2=\frac{\sqrt2}4\pi$이다.