자연계열 3번

[3–1] $\displaystyle f(x)+xf^{\prime}(x)=\{xf(x)\}^{\prime}$이고 $\displaystyle \int_1^x\frac{2\ln t}t\,dt=\int_0^{\ln x}2k\,dk=\left.k^2\right|_0^{\ln x}=(\ln x)^2$이다. 이때 $\displaystyle \ln t=k$로 치환하였다.따라서 $\displaystyle \{xf(x)\}^{\prime}=(\ln x)^2$이므로 양변을 적분하면 $\displaystyle xf(x)=\int(\ln x)^2\,dx$이다.부분적분을 두 번 이용하여 우변을 적분하면$\displaystyle \begin{aligned}xf(x)&=\int(\ln x)^2\,dx=x(\ln x)^2-\int x\cdot2\ln x\cdot\frac1x\,dx\\&=x(\ln x)^2-2\int\ln x\,dx=x(\ln x)^2-2\left(x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx\right)\\&=x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C\end{aligned}$이므로 $\displaystyle f(x)=(\ln x)^2-2\ln x+2+\frac Cx$이다. 또한 $\displaystyle f(1)=2+C=2$이므로 $\displaystyle C=0$이다.그러므로 $\displaystyle f(x)=(\ln x)^2-2\ln x+2$이다.

[3–2] 함수 $\displaystyle f(x)=x^n$의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(a,a^n)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=na^{n-1}(x-a)+a^n$이므로 $\displaystyle \mathrm Q\left(a-\frac an,0\right)$이다. 한편, 접선에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac1{na^{n-1}}(x-a)+a^n$이므로 $\displaystyle \mathrm R(a+na^{2n-1},0)$이다. 따라서$\displaystyle l_1=\overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{\frac{a^2}{n^2}+a^{2n}}$, $\displaystyle l_2=\overline{\mathrm{QR}}=na^{2n-1}+\frac an$, $\displaystyle l_3=\overline{\mathrm{RP}}=\sqrt{n^2a^{4n-2}+a^{2n}}$이다.삼각형 PQR의 넓이는 $\displaystyle \frac{l_1l_3}2=A(a)=\frac{r(l_1+l_2+l_3)}2$이므로 $\displaystyle r=\frac{l_1l_3}{l_1+l_2+l_3}=\frac{2A(a)}{l_1+l_2+l_3}$이다.따라서 내접원의 둘레의 길이 $\displaystyle B(a)=2\pi r=\frac{4\pi A(a)}{l_1+l_2+l_3}$이므로$\displaystyle \frac{A(a)}{a\cdot B(a)}=\frac{l_1+l_2+l_3}{4\pi a}$이다.한편, $\displaystyle \begin{aligned}l_1+l_2+l_3&=\sqrt{a^2n^{-2}+a^{2n}}+na^{2n-1}+an^{-1}+\sqrt{n^2a^{4n-2}+a^{2n}}\\&=a\left[\sqrt{n^{-2}+a^{2(n-1)}}+na^{2(n-1)}+n^{-1}+\sqrt{n^2a^{4(n-1)}+a^{2(n-1)}}\right]\end{aligned}$이고 $\displaystyle n>1$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{a\to0+}\frac{A(a)}{a\cdot B(a)}&=\frac1{4\pi}\lim_{a\to0+}\left[\sqrt{n^{-2}+a^{2(n-1)}}+na^{2(n-1)}+n^{-1}+\sqrt{n^2a^{4(n-1)}+a^{2(n-1)}}\right]\\&=\frac1{4\pi}(\sqrt{n^{-2}}+n^{-1})=\frac1{2\pi n}\end{aligned}$이다.

[3–3] 동전을 14번 던졌을 때 앞면이 나온 횟수를 $\displaystyle a$, 뒷면이 나온 횟수를 $\displaystyle b$라 하자.당연히 $\displaystyle a+b=14$를 만족해야 한다. $\displaystyle \theta=0$이기 위해서는 $\displaystyle a=b$이거나 $\displaystyle |a-b|=12$이어야 한다.따라서i) $\displaystyle a=b=7$인 경우: $\displaystyle {}_{14}C_7=3432$ii) $\displaystyle a,b$가 하나는 13, 나머지 하나는 1인 경우: $\displaystyle 2\cdot{}_{14}C_{13}=2\cdot14=28$그러므로 $\displaystyle \theta=0$이 되는 경우의 수는 $\displaystyle 3432+28=3460$이다.

[3–4]

따라서 $\displaystyle X=\frac12$일 확률 $\displaystyle P\left(X=\frac12\right)=\frac{{}_5C_0+{}_5C_2+{}_5C_3+{}_5C_5}{2^5}=\frac{22}{32}$이고$\displaystyle X=1$일 확률 $\displaystyle P(X=1)=\frac{{}_5C_1+{}_5C_4}{2^5}=\frac{10}{32}$이다.그러므로 기댓값 $\displaystyle E(X)=\frac12\cdot\frac{22}{32}+1\cdot\frac{10}{32}=\frac{21}{32}$이다.