자연계열 (1차) 1번

서강대 2019학년도 수시 자연계열 (1차) 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2019su/jayeon1_1

[가] 첫째항이 $\displaystyle a$ , 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 일반항은 $\displaystyle a_n=ar^{n-1}$ 이고, $\displaystyle r\ne1$ 일 때 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합은 $\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ 이다.또한 $\displaystyle |r|<1$ 일 때 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac a{1-r}$ 이다.

[나] 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 $\displaystyle [a,b]$ 에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

[다] 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 이 구간에 속한 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle m\le h(x)\le M$ ( $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle M$ 은 상수)을 만족할 때, 다음 부등식이 성립한다. $\displaystyle m(b-a)\le\int_a^b h(x)\,dx\le M(b-a)$

[라] 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 어떤 구간에서 연속일 때, 그 구간에 속하는 임의의 실수 $\displaystyle a,b,c$ 에 대하여 다음 등식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b h(x)\,dx=\int_a^c h(x)\,dx+\int_c^b h(x)\,dx$

[마] 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle h(x)$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$ 가 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 에서 연속이고, $\displaystyle a=g(\alpha)$ , $\displaystyle b=g(\beta)$ 이면 $\displaystyle \int_a^b h(x)\,dx=\int_\alpha^\beta h(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

구간 $\displaystyle [0,\infty)$ 에서 연속이며 모든 $\displaystyle x\ge0$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac15f(2x)$ 를 만족하고 $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=1$ 인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여, 제시문 [가]~[마]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

【1-1】 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n=\int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}f(x)\,dx$ 로 정의되는 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 등비수열임을 보이시오.

【1-2】 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{1/2^n}^1 f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx$ 임을 보이시오.

【1-3】 문제 【1-1】, 【1-2】의 결과를 이용하여 정적분 $\displaystyle \int_1^2 f(x)\,dx$ 를 구하시오.

【1-4】 임의의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \frac1{100^n}\int_0^{4^n} f(x)\,dx$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서강대 2019학년도 수시 자연계열 (1차) 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2019su/jayeon1_1

1-1 · 주어진 함수의 성질을 활용하여 치환적분을 통해 일반항이 정적분으로 표현된 특정 수열이 등비수열을 이루는 것을 보이는 문제로서, 치환을 통한 적분의 기본변환을 이해하고 적용할 수 있는지를 평가하고, 등비수열의 기본성질을 이해하는가를 평가한다.

【1-1】주어진 조건 $\displaystyle f(x)=\frac15f(2x)$ 을 이용하면 $\displaystyle a_{n+1}=\int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}f(x)\,dx=\frac15\int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}f(2x)\,dx$ 이고 [마]의 치환적분 공식에 $\displaystyle x=\frac12t$ 를 대입하면 $\displaystyle \frac15\int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}f(2x)\,dx=\frac1{10}\int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}f(t)\,dt=\frac1{10}a_n$ 이므로 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=\frac1{10}a_n$ 이 성립하여 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 등비수열이다.

1-2 · 연속함수에 대한 정적분의 정의와 기본 성질을 올바르게 이해하고 있음을 평가하며, 기초적이지만 올바른 이해가 동반된 엄밀한 방법으로 수열의 수렴성을 증명하는 능력을 평가한다.

【1-2】[라]에 의해 임의의 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^{1/2^n}f(x)\,dx+\int_{1/2^n}^1 f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx$ 이다.구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle M$ 과 $\displaystyle m$ 이라 하면,임의의 $\displaystyle n$ 에 대하여 구간 $\displaystyle \left[0,\frac1{2^n}\right]$ 에서 $\displaystyle m\le f(x)\le M$ 이므로[다]에 의해서 $\displaystyle \frac m{2^n}\le\int_0^{1/2^n} f(x)\,dx\le\frac M{2^n}$ 이 성립한다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}=0$ 이므로위 부등식의 양변에 $\displaystyle n\to\infty$ 의 극한을 취하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^{1/2^n}f(x)\,dx=0$ 을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{1/2^n}^1 f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx-\lim_{n\to\infty}\int_0^{1/2^n}f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx$ 이다.

1-3 · 제시문과 앞서 문항에서 증명한 결과들을 종합하고, 정적분의 성질 및 등비수열의 합과 극한을 올바로 취함으로써 주어진 문제를 해결할 수 있는 종합적인 능력을 평가한다.

【1-3】문제 【1-1】에 의해 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle \int_{1/2}^1 f(x)\,dx$ , 공비가 $\displaystyle \frac1{10}$ 인 등비수열이고 $\displaystyle \int_{1/2}^1 f(x)\,dx=\frac15\int_{1/2}^1 f(2x)\,dx=\frac1{10}\int_1^2 f(t)\,dt$ 이므로 $\displaystyle \int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}f(x)\,dx=\frac1{10^n}\int_1^2 f(x)\,dx$ 이다. 따라서 $\displaystyle \int_{1/2^n}^1 f(x)\,dx=\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\frac1{10^k}\int_1^2 f(x)\,dx=\frac19\left(1-\frac1{10^n}\right)\int_1^2 f(x)\,dx$ 이 성립한다. 위 등식의 양변에 $\displaystyle n\to\infty$ 의 극한을 취하면 【1-2】에 의해 $\displaystyle 1=\int_0^1 f(x)\,dx=\frac19\int_1^2 f(x)\,dx$ 이므로 $\displaystyle \int_1^2 f(x)\,dx=9$ 이다.

1-4 · 앞선 문제 1-1과 유사하지만 약간 변형되어 난이도가 추가된 문제로, 치환적분과 등비수열의 성질을 올바로 이해하고 활용할 수 있는 능력을 갖추고 있는가를 평가한다.

【1-4】자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle b_n=\int_0^{2^{n-1}}f(x)\,dx$ 이라 놓으면 $\displaystyle b_{n+1}=\int_0^{2^n}f(x)\,dx=2\int_0^{2^{n-1}}f(2t)\,dt=10\int_0^{2^{n-1}}f(t)\,dt=10b_n$ 이고 $\displaystyle b_1=\int_0^1 f(x)\,dx=1$ 이므로 $\displaystyle \{b_n\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle 1$ 이고 공비가 $\displaystyle 10$ 인 등비수열이다. 따라서 $\displaystyle \int_0^{2^n}f(x)\,dx=b_{n+1}=10^n$ 이다. 이때 $\displaystyle \int_0^{4^n}f(x)\,dx=\int_0^{2^{2n}}f(x)\,dx$ 이므로 $\displaystyle \int_0^{4^n}f(x)\,dx=10^{2n}=100^n$ ,즉 $\displaystyle \frac1{100^n}\int_0^{4^n}f(x)\,dx=1$ 이다.

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