자연계열 (1차) 1번

【1-1】주어진 조건 $\displaystyle f(x)=\frac15f(2x)$을 이용하면$\displaystyle a_{n+1}=\int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}f(x)\,dx=\frac15\int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}f(2x)\,dx$이고 [마]의 치환적분 공식에 $\displaystyle x=\frac12t$를 대입하면$\displaystyle \frac15\int_{1/2^{n+1}}^{1/2^n}f(2x)\,dx=\frac1{10}\int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}f(t)\,dt=\frac1{10}a_n$이므로 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=\frac1{10}a_n$이 성립하여 $\displaystyle \{a_n\}$은 등비수열이다.

【1-2】[라]에 의해 임의의 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \int_0^{1/2^n}f(x)\,dx+\int_{1/2^n}^1 f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx$이다.구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 $\displaystyle M$과 $\displaystyle m$이라 하면,임의의 $\displaystyle n$에 대하여 구간 $\displaystyle \left[0,\frac1{2^n}\right]$에서 $\displaystyle m\le f(x)\le M$이므로[다]에 의해서 $\displaystyle \frac m{2^n}\le\int_0^{1/2^n} f(x)\,dx\le\frac M{2^n}$이 성립한다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}=0$이므로위 부등식의 양변에 $\displaystyle n\to\infty$의 극한을 취하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^{1/2^n}f(x)\,dx=0$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{1/2^n}^1 f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx-\lim_{n\to\infty}\int_0^{1/2^n}f(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx$이다.

【1-3】문제 【1-1】에 의해 $\displaystyle \{a_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle \int_{1/2}^1 f(x)\,dx$, 공비가 $\displaystyle \frac1{10}$인 등비수열이고$\displaystyle \int_{1/2}^1 f(x)\,dx=\frac15\int_{1/2}^1 f(2x)\,dx=\frac1{10}\int_1^2 f(t)\,dt$이므로 $\displaystyle \int_{1/2^n}^{1/2^{n-1}}f(x)\,dx=\frac1{10^n}\int_1^2 f(x)\,dx$이다. 따라서$\displaystyle \int_{1/2^n}^1 f(x)\,dx=\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\frac1{10^k}\int_1^2 f(x)\,dx=\frac19\left(1-\frac1{10^n}\right)\int_1^2 f(x)\,dx$이 성립한다. 위 등식의 양변에 $\displaystyle n\to\infty$의 극한을 취하면 【1-2】에 의해$\displaystyle 1=\int_0^1 f(x)\,dx=\frac19\int_1^2 f(x)\,dx$이므로 $\displaystyle \int_1^2 f(x)\,dx=9$이다.

【1-4】자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle b_n=\int_0^{2^{n-1}}f(x)\,dx$이라 놓으면$\displaystyle b_{n+1}=\int_0^{2^n}f(x)\,dx=2\int_0^{2^{n-1}}f(2t)\,dt=10\int_0^{2^{n-1}}f(t)\,dt=10b_n$이고 $\displaystyle b_1=\int_0^1 f(x)\,dx=1$이므로 $\displaystyle \{b_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle 1$이고 공비가 $\displaystyle 10$인 등비수열이다. 따라서$\displaystyle \int_0^{2^n}f(x)\,dx=b_{n+1}=10^n$이다. 이때 $\displaystyle \int_0^{4^n}f(x)\,dx=\int_0^{2^{2n}}f(x)\,dx$이므로 $\displaystyle \int_0^{4^n}f(x)\,dx=10^{2n}=100^n$,즉 $\displaystyle \frac1{100^n}\int_0^{4^n}f(x)\,dx=1$이다.