자연계열 (1차) 2번

【2-1】함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수는 이차함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2px+q=3\left(x+\frac p3\right)^2+q-\frac{p^2}3$이다.이제, $\displaystyle p^2>3q$라고 가정하자. 그러면 이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 판별식이$\displaystyle D=(2p)^2-12q=4(p^2-3q)>0$ 또는이차함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 꼭짓점의 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle q-\frac{p^2}3$이 $\displaystyle 0$보다 작으므로,이차함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 그래프가 $\displaystyle x$축의 서로 다른 두 점 $\displaystyle \alpha,\beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)를 지난다.이때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)$이므로 구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에 속하는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다.따라서 제시문 [나]에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$에서 감소한다.

【2-2】$\displaystyle 4k\le3$, 즉 $\displaystyle k\le\frac34$이면, 서로 다른 두 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}a^2+ab+b^2-k(a+b)^2&\ge a^2+ab+b^2-\frac34(a+b)^2\\&=\frac14(a-b)^2>0\end{aligned}$이므로 부등식 $\displaystyle k(a+b)^2<a^2+ab+b^2$이 성립한다.

【2-3】서로 다른 임의의 두 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle k(a+b)^2<a^2+ab+b^2$이 성립한다고 하자.그러면 제시문 [다]에 의하여, 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여$\displaystyle k(2a)^2=\lim_{x\to a}k(a+x)^2\le\lim_{x\to a}(a^2+ax+x^2)=3a^2$이다. 특히 $\displaystyle a=1$을 대입하면 $\displaystyle 4k\le3$을 얻는다.

【2-4】서로 다른 두 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=a^2+ab+b^2+p(a+b)+q$이다. 따라서 문제 [2-2]의 결과에 의하여,$\displaystyle \begin{aligned}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}&>\frac34(a+b)^2+p(a+b)+q\\&=\frac34\left(a+b+\frac{2p}3\right)^2-\frac{p^2}3+q\ge-\frac{p^2}3+q\end{aligned}$이므로$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}>q-\frac{p^2}3$이다. 또한 $\displaystyle p^2\le3q$이면, $\displaystyle x_1<x_2$인 임의의 실수 $\displaystyle x_1,x_2$에 대하여$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>q-\frac{p^2}3\ge0$이므로 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다.

【2-5】(1) 먼저, $\displaystyle p<-3$이고 $\displaystyle q\ge\alpha(p)=-2p-3$이라고 가정하자. 그러면 이차함수$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2px+q=3\left(x+\frac p3\right)^2+q-\frac{p^2}3$의 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x=-\frac p3$가 $\displaystyle 1$보다 크고 $\displaystyle f^{\prime}(1)=3+2p+q\ge0$이므로 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>f^{\prime}(1)\ge0$이다. 따라서 제시문 [나]에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 증가한다.(2) $\displaystyle -3\le p<0$이고 $\displaystyle q\ge\alpha(p)=\frac{p^2}3$이면 $\displaystyle p^2\le3q$이므로 문제 [2-4]의 결과에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하므로 특별히 구간 $\displaystyle (0,1)$에서도 증가한다.(3) 마지막으로 $\displaystyle p\ge0$이고 $\displaystyle q\ge\alpha(p)=0$이면 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2px+q\ge3x^2>0$이다. 따라서 제시문 [나]에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 증가한다.