자연계열 (2차) 4번

【4-1】부등식 $\displaystyle -1\le g^{\prime}(t)\le1$ ($\displaystyle -1\le t\le1$)에 대하여 $\displaystyle -1$부터 $\displaystyle x$까지 적분하면, 제시문 [나]에 의하여 아래 부등식을 얻는다.$\displaystyle -x-1\le\int_{-1}^x g^{\prime}(t)\,dt=g(x)\le x+1$마찬가지로 $\displaystyle x$부터 $\displaystyle 1$까지 적분하면$\displaystyle -1+x\le\int_x^1 g^{\prime}(t)\,dt=-g(x)\le1-x$이므로 $\displaystyle x-1\le g(x)\le-x+1$이다.두 부등식으로부터 문제에 주어진 부등식 $\displaystyle -1+|x|\le g(x)\le1-|x|$이 성립함을 알 수 있다.

【4-2】$\displaystyle x$가 양인 경우와 음인 경우로 나누어 풀이한다.가) $\displaystyle 0\le x\le1$인 경우, 아래 부등식 ($\displaystyle 0\le t\le1$)$\displaystyle -\frac t{\sqrt{4-t^2}}\le f^{\prime}(t)\le\frac t{\sqrt{4-t^2}}$에서 $\displaystyle x$부터 $\displaystyle 1$까지의 적분을 고려하여$\displaystyle -\int_x^1\frac t{\sqrt{4-t^2}}\,dt\le\int_x^1 f^{\prime}(t)\,dt\le\int_x^1\frac t{\sqrt{4-t^2}}\,dt$$\displaystyle \sqrt3-\sqrt{4-x^2}\le f(1)-f(x)\le\sqrt{4-x^2}-\sqrt3$을 얻는다. 따라서 다음과 같은 부등식이 성립한다.$\displaystyle \sqrt3-\sqrt{4-x^2}\le f(x)\le\sqrt{4-x^2}-\sqrt3$나) $\displaystyle -1\le x\le0$인 경우, 아래 부등식 ($\displaystyle -1\le t\le0$)$\displaystyle \frac t{\sqrt{4-t^2}}\le f^{\prime}(t)\le-\frac t{\sqrt{4-t^2}}$에서 $\displaystyle -1$부터 $\displaystyle x$까지의 적분을 고려하면 가)와 동일한 부등식을 얻는다.$\displaystyle \sqrt3-\sqrt{4-x^2}\le f(x)\le\sqrt{4-x^2}-\sqrt3$따라서 모든 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \sqrt3-\sqrt{4-x^2}\le f(x)\le\sqrt{4-x^2}-\sqrt3$을 만족한다.이로부터 $\displaystyle f_{\max}(x)=\sqrt{4-x^2}-\sqrt3$임을 알 수 있다.

【4-3】함수 $\displaystyle f_{\max}(x)=\sqrt{4-x^2}-\sqrt3$의 그래프는 반지름의 길이가 $\displaystyle 2$이고 중심이 $\displaystyle (0,-\sqrt3)$인 원의 일부로서, 두 점 $\displaystyle (-1,0)$과 $\displaystyle (1,0)$을 연결하는 호이다.또한 $\displaystyle f_{\min}(x)=-f_{\max}(x)$이므로 $\displaystyle \int_{-1}^1\{f_{\max}(x)-f_{\min}(x)\}\,dx=2\int_{-1}^1 f_{\max}(x)\,dx$이고 이것은 원과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 두 배이다.세 점 $\displaystyle (0,-\sqrt3)$, $\displaystyle (-1,0)$, $\displaystyle (1,0)$은 한 변의 길이가 $\displaystyle 2$인 정삼각형을 이루며 넓이는 $\displaystyle \sqrt3$이다.그러므로 구하고자 하는 정적분의 값은 $\displaystyle 2\left(\frac12\times\frac\pi3\times4-\sqrt3\right)=\frac{4\pi}3-2\sqrt3$이다.

【4-4】함수 $\displaystyle f_{\max}(x)$에 대하여 평균값 정리를 $\displaystyle -1$과 구간 $\displaystyle (-1,1)$에 속하는 임의의 $\displaystyle x$에 관해 적용하면, 아래관계를 만족하는 $\displaystyle w$가 $\displaystyle -1$과 $\displaystyle x$ 사이에, 따라서 $\displaystyle -1$과 $\displaystyle 1$ 사이에 존재한다.$\displaystyle \frac{f_{\max}(x)-f_{\max}(-1)}{x+1}=\frac{f_{\max}(x)}{x+1}=f^{\prime}_{\max}(w)$여기에 $\displaystyle f^{\prime}_{\max}(w)=-\frac w{\sqrt{4-w^2}}=-\frac w{f_{\max}(w)+\sqrt3}$을 대입하여 정리하면 구하고자 하는 식을 얻게 된다.