자연계열 (2차) 3번

【3-1】점 $\displaystyle (8,1)$을 지나고 음의 기울기 $\displaystyle m$을 가지는 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-8)+1$이고,이 직선 $\displaystyle l$의 $\displaystyle x$축과의 교점은 $\displaystyle \left(8-\frac1m,0\right)$, $\displaystyle y$축과의 교점은 $\displaystyle (0,-8m+1)$이다.선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 길이의 제곱을 기울기 $\displaystyle m$의 함수로 나타내면$\displaystyle f(m)=\left(8-\frac1m\right)^2+(8m-1)^2$이고, 도함수는$\displaystyle f^{\prime}(m)=2\left(8-\frac1m\right)\left(\frac1{m^2}\right)+2(8m-1)8=2(8m-1)\left(\frac1{m^3}+8\right)$이다. $\displaystyle m<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(m)=0$은 $\displaystyle m=-\frac12$에서 유일한 근을 가진다.$\displaystyle m<-\frac12$에서 $\displaystyle f^{\prime}(m)<0$이고 $\displaystyle -\frac12<m<0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(m)>0$이므로$\displaystyle m=-\frac12$에서 함수 $\displaystyle f(m)$이 최솟값을 가지고,이때 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 길이가 최소가 되며, 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac12x+5$ (또는 $\displaystyle x+2y=10$)이다.

【3-2】내접원의 중심에서 직각삼각형 각 변에 수선을 내리면 삼각형의 합동에 의해 빗변의 길이가 $\displaystyle 15-2x=\sqrt{125}$이므로 $\displaystyle x=\frac{15-5\sqrt5}2$, 점 Q의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{15-5\sqrt5}2,\frac{15-5\sqrt5}2\right)$이다.

직선 $\displaystyle l$에 수직이고 원점을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=2x$이다.삼각형 OAB는 직각삼각형이므로 삼각형 OAB의 외접원의 중심은 점 A$\displaystyle (10,0)$과 점 B$\displaystyle (0,5)$를 잇는 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$의 중점 $\displaystyle \left(5,\frac52\right)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{5\sqrt5}2$이다.따라서 삼각형 OAB의 외접원의 방정식은 $\displaystyle (x-5)^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{125}4$이다.여기에 직선의 방정식 $\displaystyle y=2x$를 대입하여 $\displaystyle x$에 관한 방정식으로 정리하면 $\displaystyle 5x(x-4)=0$이므로,외접원과 만나는 원점이 아닌 점 C의 좌표는 $\displaystyle (4,8)$이다.

【3-3】벡터 $\displaystyle \vec w=(-1,-2)$는 직선 $\displaystyle l$에 수직이며,두 벡터 $\displaystyle \vec w$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 할 때 $\displaystyle \vec w\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}=|\vec w||\overrightarrow{\mathrm{QR}}|\cos\theta$이다.$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR}}|\cos\theta$는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}$의 성분 중 직선 $\displaystyle l$에 수직인 성분에 해당하므로 답안 【1-2】의 그림에 나타낸 바와 같이 직선 $\displaystyle l$에 평행한 직선 $\displaystyle l^{\prime}$ 위의 임의의 점 R에 대하여 $\displaystyle \vec w\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}$의 값이 같다.Correction. 그림을 가리키는 “답안 【1-2】”는 “답안 【3-2】”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 직선 $\displaystyle l^{\prime}$이 직선 $\displaystyle l$에서 가장 멀리 떨어졌을 때 $\displaystyle \vec w\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}$은 최대가 되고,이때 점 R은 직선 $\displaystyle l^{\prime}$과 삼각형 OAB의 교점인 원점이 된다.따라서$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}=(0,0)-\left(\frac{15-5\sqrt5}2,\frac{15-5\sqrt5}2\right)=\left(\frac{-15+5\sqrt5}2,\frac{-15+5\sqrt5}2\right)$이고,$\displaystyle \vec w\cdot\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\left(\frac{-15+5\sqrt5}2,\frac{-15+5\sqrt5}2\right)\cdot(-1,-2)=\frac{45-15\sqrt5}2$이다.

【3-4】점 $\displaystyle (x,y)$는 삼각형 OAB 또는 그 내부에 있으므로 다음의 연립부등식을 만족한다.$\displaystyle x+2y\le10,\ x\ge0,\ y\ge0$$\displaystyle u=x-4$, $\displaystyle v=2(y-8)$로 변수를 치환하면 $\displaystyle (x-4)^2+4(y-8)^2=u^2+v^2$이다.$\displaystyle (u,v)$에 대한 부등식을 얻기 위해, $\displaystyle x=u+4$, $\displaystyle y=\frac v2+8$을 위의 연립부등식에 대입하여 정리하면,$\displaystyle u+v\le-10,\ u\ge-4,\ v\ge-16$이다.

위 연립부등식의 영역은 세 점 $\displaystyle (-4,-16)$, $\displaystyle (6,-16)$, $\displaystyle (-4,-6)$이 꼭짓점인 삼각형과 그 내부이다.따라서 위의 그림에서 보는 바와 같이 원점에서 가장 먼 삼각형 또는 그 내부의 점은 $\displaystyle (6,-16)$이고,이때 $\displaystyle u^2+v^2$은 최댓값 $\displaystyle 292$를 가진다.직선 $\displaystyle u+v+10=0$에서 원점까지 가장 가까운 점은 원점에서 직선에 내린 수선의 발인 $\displaystyle (-5,-5)$이나 이는 삼각형에 속하지 않으므로 꼭짓점 $\displaystyle (-4,-6)$이 원점에서 가장 가까운 점이고 이때 $\displaystyle u^2+v^2$는 최솟값 $\displaystyle 52$를 가진다.