자연계열 (1차) 1번

서강대 2020학년도 수시 자연계열 (1차) 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2020su/jayeon1_1

[가] 좌표평면 위에서 움직이는 점 P의 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 가 변수 $\displaystyle t$ 의 함수 $\displaystyle \begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}$ 로 나타내어질 때, 변수 $\displaystyle t$ 를 매개변수라 한다. 예를 들어, 점 P가 점 $\displaystyle (1,0)$ 를 출발하여 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위를 시계 반대 방향으로 매분 $\displaystyle 1$ 만큼의 거리를 움직일 때, 출발 후 $\displaystyle t$ 분에서 점 P의 위치를 매개변수를 이용하여 $\displaystyle x=\cos t$ , $\displaystyle y=\sin t$ 로 나타낼 수 있다.

[나] 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기를 1라디안이라고 하고, 라디안을 단위로 각의 크기를 나타내는 방법을 호도법이라고 한다.부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 반지름의 길이가 $\displaystyle r$ 이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \theta$ 라디안인 부채꼴의 호의 길이 $\displaystyle l$ 은 $\displaystyle l=r\theta$ 이다.

[다] 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 가 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 일 때, 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속도, 속력, 가속도, 가속도의 크기는 다음과 같다.(1) 속도 $\displaystyle \vec v=(v_x,v_y)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(f^{\prime}(t),g^{\prime}(t))$ (2) 속력 $\displaystyle |\vec v|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}$ (3) 가속도 $\displaystyle \vec a=(a_x,a_y)=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)=(f^{\prime\prime}(t),g^{\prime\prime}(t))$ (4) 가속도의 크기 $\displaystyle |\vec a|=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}=\sqrt{\{f^{\prime\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime\prime}(t)\}^2}$

아래 글을 읽고 【1-1】, 【1-2】, 【1-3】의 물음에 답하시오.

서강이는 원점 O를 중심으로 반지름의 길이가 1인 원의 둘레를 점 $\displaystyle (1,0)$ 에서부터 출발하여 시계 반대 방향으로 일정한 속력으로 움직여 매 $\displaystyle \pi$ 분마다 한 바퀴씩 돌고 있다. 동시에 서준이는 점 $\displaystyle (-1,0)$ 을 중심으로 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt3$ 인 원둘레를 점 $\displaystyle (\sqrt3-1,0)$ 에서부터 출발하여 시계 반대 방향으로 일정한 속력으로 움직여 매 $\displaystyle 2\pi$ 분마다 한 바퀴씩 돌고 있다.

【1-1】 서강이와 서준이가 동시에 출발 후, $\displaystyle t$ 분이 지날 때, 각자의 위치를 매개변수 방정식으로 나타내시오.

【1-2】 서강이와 서준이가 첫 번째 만날 때의 속도와 가속도를 구하고, 이들 크기의 합을 각각 구하시오.

【1-3】 출발 $\displaystyle t$ 분 후 서준이의 가속도가 $\displaystyle (a(t),b(t))$ 이고, 함수 $\displaystyle f(t)$ 가 $\displaystyle t>0$ 에서 $\displaystyle |f(t)|\le3$ 이다. 정적분 $\displaystyle \int_{\frac\pi3}^{\frac{2\pi}3}a(t)b(t)f(t)\,dt$ 이 최댓값을 갖도록 하는 함수 $\displaystyle f(t)$ 를 제시하고, 그 때 정적분의 값을 구하시오.

【1-4】 점 $\displaystyle (-1,0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt3$ 인 원을 밑면으로 하고, $\displaystyle xy$ 평면에 수직인 원기둥 모양의 벽이 있다. 서준이가 이 벽의 둘레를 점 $\displaystyle (\sqrt3-1,0)$ 에서 출발하여 시계 반대 방향으로 일정한 속력으로 움직여 매 $\displaystyle 2\pi$ 분마다 한 바퀴씩 돌고 있다. 반면, 서강이는 점 $\displaystyle (1,0)$ 에서 정지한 상태로 서준이가 실제 움직이는 거리를 측정하기로 하였다. 출발하여 $\displaystyle \frac{49\pi}{12}$ 분이 경과할 때까지 서강이가 관측할 수 있는 서준이의 총 움직인 거리를 구하시오. (단, 원기둥의 높이는 무한히 높고 서준이는 매우 작다고 가정한다.)

해설강의 준비중

서강대 2020학년도 수시 자연계열 (1차) 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2020su/jayeon1_1

1-1 · 호도법의 뜻을 알고 매개변수 방정식에 대한 이해도를 측정하고자 한다.

1-1 · 각기 다른 일정한 속력으로 원의 둘레를 돌 때, 원에 대한 매개변수 방정식을 삼각함수를 이용하여 나타낼 수 있다.

[문항 1-1]서강이는 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 원(둘레가 $\displaystyle 2\pi$ )을 한 바퀴 도는데 $\displaystyle \pi$ 분이 소요되므로 $\displaystyle 1$ 분 동안 움직인 거리는 $\displaystyle 2$ 이다. $\displaystyle t$ 분 후 움직인 거리는 $\displaystyle 2t=1\times\theta(t)$ 이므로 $\displaystyle \theta(t)=2t$ 이다. 그러므로 $\displaystyle t$ 분에서의 위치는 $\displaystyle (\cos2t,\sin2t)$ 이다. 서준이는 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt3$ 인 원(둘레가 $\displaystyle 2\sqrt3\pi$ )을 한 바퀴 도는데 $\displaystyle 2\pi$ 분이 소요되므로 $\displaystyle 1$ 분 동안 움직인 거리는 $\displaystyle \sqrt3$ 이다. $\displaystyle t$ 분 후 움직인 거리는 $\displaystyle \sqrt3t=\sqrt3\theta(t)$ 이므로 $\displaystyle \theta(t)=t$ 이다. 그러므로 $\displaystyle t$ 분에서의 위치는 $\displaystyle (\sqrt3\cos t-1,\sqrt3\sin t)$ 이다.

1-2 · 삼각함수를 활용하여 간단한 문제를 해결할 수 있다.

[문항 1-2]서강이와 서준이가 만날 수 있는 점은 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 과 $\displaystyle (x+1)^2+y^2=3$ 의 교점 $\displaystyle \mathrm A\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$ , $\displaystyle \mathrm B\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}2\right)$ 뿐이다. 서강이가 처음으로 점 A를 지나는 시각은 $\displaystyle t=\frac\pi6$ , 서준이도 처음으로 점 A를 지나는 시각은 $\displaystyle t=\frac\pi6$ 이다. ( $\displaystyle t$ 의 단위는 분) 즉, $\displaystyle t=\frac\pi6$ 일 때, 둘은 처음 만난다.

1-2 · 미분법을 이용하여 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.

서강이의 위치는 $\displaystyle (\cos2t,\sin2t)$ 이므로 $\displaystyle t$ 분 후 속도는 $\displaystyle (-2\sin2t,2\cos2t)$ , 가속도는 $\displaystyle (-4\cos2t,-4\sin2t)$ 이다. 서준이의 위치는 $\displaystyle (\sqrt3\cos t-1,\sqrt3\sin t)$ 이므로 $\displaystyle t$ 분 후 속도는 $\displaystyle (-\sqrt3\sin t,\sqrt3\cos t)$ , 가속도는 $\displaystyle (-\sqrt3\cos t,-\sqrt3\sin t)$ 이다. 그러므로 $\displaystyle t=\frac\pi6$ 일 때,서강이의 속도는 $\displaystyle \left(-2\sin\frac\pi3,2\cos\frac\pi3\right)=(-\sqrt3,1)$ , 가속도는 $\displaystyle \left(-4\cos\frac\pi3,-4\sin\frac\pi3\right)=(-2,-2\sqrt3)$ .이고 서준이의 속도는 $\displaystyle \left(-\sqrt3\sin\frac\pi6,\sqrt3\cos\frac\pi6\right)=\left(-\frac{\sqrt3}2,\frac32\right)$ , 가속도는 $\displaystyle \left(-\sqrt3\cos\frac\pi6,-\sqrt3\sin\frac\pi6\right)=\left(-\frac32,-\frac{\sqrt3}2\right)$ 이다.이에 해당하는 서강이의 속력은 $\displaystyle \sqrt{4\sin^2\frac\pi3+4\cos^2\frac\pi3}=2$ , 서준이의 속력은 $\displaystyle \sqrt{3\sin^2\frac\pi6+3\cos^2\frac\pi6}=\sqrt3$ 이므로 이들의 합은 $\displaystyle 2+\sqrt3$ 이다. 한 편, 서강이의 가속도의 크기는 $\displaystyle \sqrt{16\cos^2\frac\pi3+16\sin^2\frac\pi3}=4$ 이고 서준이의 가속도의 크기는 $\displaystyle \sqrt{3\cos^2\frac\pi6+3\sin^2\frac\pi6}=\sqrt3$ 이므로 합은 $\displaystyle 4+\sqrt3$ 이다.

1-3 · 미분법을 이용하여 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.

[문항 1-3]출발 $\displaystyle t$ 분 후 서준이의 가속도는 $\displaystyle (-\sqrt3\cos t,-\sqrt3\sin t)$ 이므로 $\displaystyle \int_{\pi/3}^{2\pi/3}a(t)b(t)f(t)\,dt=3\int_{\pi/3}^{2\pi/3}f(t)\sin t\cos t\,dt$ 이다.

1-3 · 치환적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

모든 $\displaystyle t\in[\pi/3,2\pi/3]$ 에 대하여 $\displaystyle \sin t>0$ 이고 $\displaystyle t\in[\pi/3,\pi/2]$ 일 때 $\displaystyle \cos t\ge0$ , $\displaystyle t\in[\pi/2,2\pi/3]$ 일 때 $\displaystyle \cos t\le0$ 그리고 $\displaystyle \cos\frac\pi2=0$ 이므로 $\displaystyle f_1(t)=\begin{cases}3&(\pi/3\le t\le\pi/2)\\-3&(\pi/2<t\le2\pi/3)\end{cases}$ 라 놓으면 함수 $\displaystyle f_1(t)\sin t\cos t$ 는 $\displaystyle [\pi/3,2\pi/3]$ 에서 연속이고, $\displaystyle t>0$ 에서 $\displaystyle |f(t)|\le3$ 을 만족하는 모든 $\displaystyle f(t)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{\pi/3}^{2\pi/3}f(t)\sin t\cos t\,dt\le\int_{\pi/3}^{2\pi/3}f_1(t)\sin t\cos t\,dt$ 가 성립한다.그러므로 정적분 $\displaystyle \int_{\pi/3}^{2\pi/3}a(t)b(t)f(t)\,dt$ 이 최댓값을 갖도록 하는 함수 $\displaystyle f(t)$ 는 $\displaystyle f(t)=\begin{cases}3&(\pi/3\le t\le\pi/2)\\-3&(\pi/2<t\le2\pi/3)\end{cases}$ 또는 $\displaystyle f(t)=\begin{cases}3&(\pi/3\le t<\pi/2)\\-3&(\pi/2\le t\le2\pi/3)\end{cases}$ 이고 그 때 정적분의 값은 $\displaystyle 9\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt-9\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin t\cos t\,dt=\frac98+\frac98=\frac94$ 이다.( $\displaystyle x=\cos t$ 라 치환하면 $\displaystyle \int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt=-\int_{1/2}^0x\,dx=\int_0^{1/2}x\,dx=\frac18=-\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin t\cos t\,dt$ )

1-4 · 원의 방정식을 구할 수 있다.

1-4 · 호도법의 뜻을 알고 각을 호도법으로 나타낼 수 있다.

[문항 1-4]원기둥 밑면의 중심을 점 L, 서강이의 위치를 점 M이라 하자. 서강이가 관찰하고 있는 점 $\displaystyle (1,0)$ 에서 원기둥 밑면에 그은 접점을 N이라하면 삼각형 LMN은 아래 그림과 같이 직각삼각형이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{LM}}=2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{LN}}=\sqrt3$ 이므로 각 $\displaystyle \angle\mathrm{NLM}$ 은 $\displaystyle \frac\pi6$ 이다. 그러므로 서준이가 원을 한바퀴 돌았을 때, 서강이가 관측할 수 있는 구간에 해당하는 서준이가 움직인 거리는 $\displaystyle \sqrt3\times\frac\pi3$ 이다. 출발 후 $\displaystyle \frac{49\pi}{12}\left(=4\pi+\frac\pi{12}\right)$ 분동안 서준이는 2바퀴를 돌고 중심각이 $\displaystyle \frac\pi{12}$ 인 부채꼴의 호만큼 더 움직일 수 있다. 그러므로 답은 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}3\pi+\frac{\sqrt3}{12}\pi=\frac{3\sqrt3}4\pi$ 이다.

중심 L(-1,0), 반지름 √3인 원과 점 M(1,0)에서 그은 접선 MN.

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