자연계열 (1차) 1번

[문항 1-1]서강이는 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원(둘레가 $\displaystyle 2\pi$)을 한 바퀴 도는데 $\displaystyle \pi$분이 소요되므로 $\displaystyle 1$분 동안 움직인 거리는 $\displaystyle 2$이다. $\displaystyle t$분 후 움직인 거리는 $\displaystyle 2t=1\times\theta(t)$이므로 $\displaystyle \theta(t)=2t$이다. 그러므로 $\displaystyle t$분에서의 위치는 $\displaystyle (\cos2t,\sin2t)$이다. 서준이는 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt3$인 원(둘레가 $\displaystyle 2\sqrt3\pi$)을 한 바퀴 도는데 $\displaystyle 2\pi$분이 소요되므로 $\displaystyle 1$분 동안 움직인 거리는 $\displaystyle \sqrt3$이다. $\displaystyle t$분 후 움직인 거리는 $\displaystyle \sqrt3t=\sqrt3\theta(t)$이므로 $\displaystyle \theta(t)=t$이다. 그러므로 $\displaystyle t$분에서의 위치는 $\displaystyle (\sqrt3\cos t-1,\sqrt3\sin t)$이다.

[문항 1-2]서강이와 서준이가 만날 수 있는 점은 $\displaystyle x^2+y^2=1$과 $\displaystyle (x+1)^2+y^2=3$의 교점 $\displaystyle \mathrm A\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$, $\displaystyle \mathrm B\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}2\right)$ 뿐이다. 서강이가 처음으로 점 A를 지나는 시각은 $\displaystyle t=\frac\pi6$, 서준이도 처음으로 점 A를 지나는 시각은 $\displaystyle t=\frac\pi6$이다. ($\displaystyle t$의 단위는 분) 즉, $\displaystyle t=\frac\pi6$일 때, 둘은 처음 만난다. 서강이의 위치는 $\displaystyle (\cos2t,\sin2t)$이므로 $\displaystyle t$분 후 속도는 $\displaystyle (-2\sin2t,2\cos2t)$, 가속도는 $\displaystyle (-4\cos2t,-4\sin2t)$이다. 서준이의 위치는 $\displaystyle (\sqrt3\cos t-1,\sqrt3\sin t)$이므로 $\displaystyle t$분 후 속도는 $\displaystyle (-\sqrt3\sin t,\sqrt3\cos t)$, 가속도는 $\displaystyle (-\sqrt3\cos t,-\sqrt3\sin t)$이다. 그러므로 $\displaystyle t=\frac\pi6$일 때,서강이의 속도는 $\displaystyle \left(-2\sin\frac\pi3,2\cos\frac\pi3\right)=(-\sqrt3,1)$, 가속도는 $\displaystyle \left(-4\cos\frac\pi3,-4\sin\frac\pi3\right)=(-2,-2\sqrt3)$.이고 서준이의 속도는 $\displaystyle \left(-\sqrt3\sin\frac\pi6,\sqrt3\cos\frac\pi6\right)=\left(-\frac{\sqrt3}2,\frac32\right)$, 가속도는 $\displaystyle \left(-\sqrt3\cos\frac\pi6,-\sqrt3\sin\frac\pi6\right)=\left(-\frac32,-\frac{\sqrt3}2\right)$이다.이에 해당하는 서강이의 속력은 $\displaystyle \sqrt{4\sin^2\frac\pi3+4\cos^2\frac\pi3}=2$, 서준이의 속력은 $\displaystyle \sqrt{3\sin^2\frac\pi6+3\cos^2\frac\pi6}=\sqrt3$이므로 이들의 합은 $\displaystyle 2+\sqrt3$이다. 한 편, 서강이의 가속도의 크기는 $\displaystyle \sqrt{16\cos^2\frac\pi3+16\sin^2\frac\pi3}=4$이고 서준이의 가속도의 크기는 $\displaystyle \sqrt{3\cos^2\frac\pi6+3\sin^2\frac\pi6}=\sqrt3$이므로 합은 $\displaystyle 4+\sqrt3$이다.

[문항 1-3]출발 $\displaystyle t$분 후 서준이의 가속도는 $\displaystyle (-\sqrt3\cos t,-\sqrt3\sin t)$이므로$\displaystyle \int_{\pi/3}^{2\pi/3}a(t)b(t)f(t)\,dt=3\int_{\pi/3}^{2\pi/3}f(t)\sin t\cos t\,dt$이다. 모든 $\displaystyle t\in[\pi/3,2\pi/3]$에 대하여 $\displaystyle \sin t>0$이고$\displaystyle t\in[\pi/3,\pi/2]$일 때 $\displaystyle \cos t\ge0$, $\displaystyle t\in[\pi/2,2\pi/3]$일 때 $\displaystyle \cos t\le0$ 그리고 $\displaystyle \cos\frac\pi2=0$이므로$\displaystyle f_1(t)=\begin{cases}3&(\pi/3\le t\le\pi/2)\\-3&(\pi/2<t\le2\pi/3)\end{cases}$라 놓으면 함수 $\displaystyle f_1(t)\sin t\cos t$는 $\displaystyle [\pi/3,2\pi/3]$에서 연속이고, $\displaystyle t>0$에서 $\displaystyle |f(t)|\le3$을 만족하는 모든 $\displaystyle f(t)$에 대하여$\displaystyle \int_{\pi/3}^{2\pi/3}f(t)\sin t\cos t\,dt\le\int_{\pi/3}^{2\pi/3}f_1(t)\sin t\cos t\,dt$가 성립한다.그러므로 정적분 $\displaystyle \int_{\pi/3}^{2\pi/3}a(t)b(t)f(t)\,dt$이 최댓값을 갖도록 하는 함수 $\displaystyle f(t)$는$\displaystyle f(t)=\begin{cases}3&(\pi/3\le t\le\pi/2)\\-3&(\pi/2<t\le2\pi/3)\end{cases}$ 또는 $\displaystyle f(t)=\begin{cases}3&(\pi/3\le t<\pi/2)\\-3&(\pi/2\le t\le2\pi/3)\end{cases}$이고 그 때 정적분의 값은$\displaystyle 9\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt-9\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin t\cos t\,dt=\frac98+\frac98=\frac94$이다.($\displaystyle x=\cos t$라 치환하면 $\displaystyle \int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt=-\int_{1/2}^0x\,dx=\int_0^{1/2}x\,dx=\frac18=-\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\sin t\cos t\,dt$)

[문항 1-4]원기둥 밑면의 중심을 점 L, 서강이의 위치를 점 M이라 하자. 서강이가 관찰하고 있는 점$\displaystyle (1,0)$에서 원기둥 밑면에 그은 접점을 N이라하면 삼각형 LMN은 아래 그림과 같이 직각삼각형이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{LM}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{LN}}=\sqrt3$이므로 각 $\displaystyle \angle\mathrm{NLM}$은 $\displaystyle \frac\pi6$이다. 그러므로 서준이가 원을 한바퀴 돌았을 때, 서강이가 관측할 수 있는 구간에 해당하는 서준이가 움직인 거리는 $\displaystyle \sqrt3\times\frac\pi3$이다. 출발 후 $\displaystyle \frac{49\pi}{12}\left(=4\pi+\frac\pi{12}\right)$분동안 서준이는 2바퀴를 돌고 중심각이 $\displaystyle \frac\pi{12}$인 부채꼴의 호만큼 더 움직일 수 있다. 그러므로 답은 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}3\pi+\frac{\sqrt3}{12}\pi=\frac{3\sqrt3}4\pi$이다.