자연계열 (2차) 4번

[문항 4-1]함수 $\displaystyle f$는 정수인 $\displaystyle n$들이 불연속점들이다. 따라서 구간 $\displaystyle (0,2)$에서 $\displaystyle f(2x)$는 $\displaystyle 1/2,1,3/2$에서 불연속이고 $\displaystyle f(3x)$는 $\displaystyle 1/3,2/3,1,4/3,5/3$에서 불연속이다. 그런데 $\displaystyle x=1/2,1,3/2$에서 함수 $\displaystyle g$는 연속이 된다. 그러므로$\displaystyle 1/3,\;2/3,\;4/3,\;5/3$에서 $\displaystyle g$는 불연속이다.

[문항 4-2]함수 $\displaystyle f$의 정의로부터 $\displaystyle f(N+1)=0$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^N f\left(n\left(1+\frac1N\right)\right)&=\sum_{n=1}^{N-1}\frac nN\\&=\frac1N\frac{(N-1)N}2\\&=\frac{N-1}2.\end{aligned}$

[문항 4-3]준식은$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{n_0-1}\left(\left\{\alpha+\frac nN\right\}-\frac12\right)&=(n_0-1)\alpha+\sum_{n=1}^{n_0-1}\frac nN-\frac{n_0-1}2\\&=(n_0-1)\left\{\alpha+\frac{n_0}{2N}-\frac12\right\}\end{aligned}$또는$\displaystyle (n_0-1)\left(\alpha-\frac12\right)+\sum_{n=1}^{n_0-1}\frac nN.$

[문항 4-4]준식은 다음의 두 합으로 분할된다:$\displaystyle f(Nx)-\left(\sum_{n=1}^{n_0-1}\left(\left\{\alpha+\frac nN\right\}-\frac12\right)+\sum_{n=n_0}^N\left(\left\{\alpha+\frac nN-1\right\}-\frac12\right)\right)=f(Nx)-(I+II)$$\displaystyle I$은 문제 3으로부터$\displaystyle I=(n_0-1)\alpha+\sum_{n=1}^{n_0-1}\frac nN-\frac{n_0-1}2.$$\displaystyle II$의 계산:$\displaystyle \begin{aligned}II&=(N-n_0+1)\alpha+\sum_{n=n_0}^N\frac nN-\frac{(N-n_0+1)3}2\\&=(N-n_0+1)\alpha+\sum_{n=n_0}^N\frac nN-(N-n_0+1)-\frac{N-n_0+1}2.\end{aligned}$따라서 등차수열의 합을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}I+II&=N\alpha+\frac{N(N+1)}{2N}-(N-n_0+1)-\frac N2\\&=N\alpha-(N-n_0)-\frac12.\end{aligned}$그런데, 조건 $\displaystyle \alpha+\frac{n_0-1}N<1$로부터 $\displaystyle N\alpha-N+n_0<1$이고, 다른 조건 $\displaystyle \alpha+\frac{n_0}N\ge1$로부터 $\displaystyle N\alpha-N+n_0\ge0$이다. 즉$\displaystyle N\le N\alpha+n_0<N+1$이므로$\displaystyle \begin{aligned}I+II&=N\alpha-(N-n_0)-\frac12\\&=f(N\alpha)-\frac12.\end{aligned}$그런데 $\displaystyle f(N\alpha)=f(Nx)$이므로,준식 $\displaystyle =f(Nx)-(f(Nx)-1/2)=\frac12.$