자연계열 (2차) 4번

[가] 함수 $\displaystyle f(x)$에서 정의역에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f(x+L)=f(x)$를 만족하는 $\displaystyle 0$이 아닌 상수 $\displaystyle L$이 존재할 때, 함수 $\displaystyle f$를 주기함수라 하고 $\displaystyle L$의 값 중에서 최소인 양수를 함수 $\displaystyle f$의 주기라 한다. 예를 들어, 함수 $\displaystyle y=\sin x$는 주기가 $\displaystyle 2\pi$인 주기함수이다.

[나] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 첫째항부터 제$\displaystyle n$항까지의 합$\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$을 합의 기호 $\displaystyle \sum$를 사용하여 다음과 같이 간단히 $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$로 나타낸다. 즉,$\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^n a_k$여기서, $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$는 수열의 일반항 $\displaystyle a_k$의 $\displaystyle k$에 $\displaystyle 1,2,3,\cdots,n$을 차례로 대입하여 얻은 항 $\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$의 합을 뜻한다.

[다] 두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$, $\displaystyle \{b_n\}$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n b_k\qquad\sum_{k=1}^n(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^n b_k$$\displaystyle \sum_{k=1}^n ca_k=c\sum_{k=1}^n a_k$ (단, $\displaystyle c$는 상수)$\displaystyle \sum_{k=1}^n c=cn$ (단, $\displaystyle c$는 상수)

[라] 첫째항이 $\displaystyle a$, 공차가 $\displaystyle d$인 등차수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$항까지의 합을 $\displaystyle S_n$이라 하면,$\displaystyle S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\{a+(n-1)d\}=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}2$이다.

임의의 실수 $\displaystyle x$는 정수 $\displaystyle m$과 소수 $\displaystyle \alpha$ ($\displaystyle 0\le\alpha<1$)의 합, 즉 $\displaystyle x=m+\alpha$으로 표현이 가능하다. 그런데 $\displaystyle f(x)=\alpha$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^N\left(f\left(m+\alpha+\frac nN\right)-\frac12\right)=\sum_{n=1}^N\left(f\left(\alpha+\frac nN\right)-\frac12\right)$ (단, $\displaystyle N$은 1보다 큰 자연수이다.)이다. 이 때,$\displaystyle \alpha+\frac{n_0-1}N<1,\qquad\alpha+\frac{n_0}N\ge1$을 동시에 만족하는 자연수 $\displaystyle n_0$ ($\displaystyle 1<n_0\le N$)을 찾을 수 있다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다. 이 문제에서는 $\displaystyle n_0=1$인 경우도 가능하며, 이때 [4-3]의 합은 더할 항이 없으므로 $\displaystyle 0$으로 해석한다. 따라서 $\displaystyle n_0$의 범위는 $\displaystyle 1\le n_0\le N$으로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.