자연계열 (2차) 3번

[문항 3-1]함수 $\displaystyle f(x)$가 일대일 대응일 때 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$가 존재하므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 일대일 대응일 조건을 구한다. 구간 $\displaystyle [0,1)$, $\displaystyle [2,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가하므로 구간 $\displaystyle [1,2)$에서 증가하면 모든 구간에서 증가한다.구간 $\displaystyle [1,2)$에서, $\displaystyle m<1$이면 $\displaystyle m-1<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 감소하고, $\displaystyle m=1$이면 함수 $\displaystyle f(x)=2-m=1$이고 상수함수가 되어 증가하지 않는다. $\displaystyle m>1$이면 $\displaystyle m-1>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가한다. 결국, $\displaystyle m>1$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 모든 구간에서 증가하므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$의 임의의 두 원소 $\displaystyle x_1,x_2$에 대하여 $\displaystyle x_1\ne x_2$이면 $\displaystyle f(x_1)\ne f(x_2)$이고 일대일함수이다.또한 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 연속이고 증가하므로 치역과 공역이 모두 구간 $\displaystyle [0,\infty)$이고 일대일 대응이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$가 존재하기 위한 실수 $\displaystyle m$의 범위는 $\displaystyle m>1$이다.

[문항 3-2]제시문 [나]에서 주어진 공식을 사용하자. 우선 $\displaystyle f(x)=9m$을 만족하는 $\displaystyle x$값을 찾아야 한다. $\displaystyle m>1$이므로 $\displaystyle 9m>9$가 되고 이 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x^3-6x^2+12x+m-8=(x-2)^3+m$으로 표시할 수 있다. 따라서 $\displaystyle f(x)=9m$을 만족하는 $\displaystyle x$값은 $\displaystyle 2+2m^{1/3}$이 된다. 그러므로$\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(9m)=\frac1{f^{\prime}(2+2m^{1/3})}=\frac1{12m^{2/3}}$을 얻는다.

[문항 3-3]제시문으로부터 문제의 적분값은 $\displaystyle (2+2m^{1/3})\times(9m)-\int_0^{2+2m^{1/3}}f(x)\,dx$이 됨을 알 수 있다. 두 번째 항의 적분을 세 구간으로 나누어 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^1x\,dx+\int_1^2((m-1)x+2-m)\,dx+\int_2^{2+2m^{1/3}}((x-2)^3+m)\,dx\\&\qquad=\frac12+\left(\frac m2+\frac12\right)+\int_0^{2m^{1/3}}(x^3+m)\,dx=\frac m2+1+6m^{4/3}\end{aligned}$이 되고, 따라서 최종 결과는 $\displaystyle (2+2m^{1/3})\times(9m)-\left(6m^{4/3}+\frac m2+1\right)=12m^{4/3}+\frac{35}2m-1$

[문항 3-4]$\displaystyle f^{\prime}(x)$가 $\displaystyle x\ne1,x\ne2$인 모든 점에서 존재하고 연속임은 자명하다. $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 $\displaystyle x=1$ 그리고 $\displaystyle x=2$에서 좌극한과 우극한을 생각해보자.$\displaystyle \lim_{x\to1-}f^{\prime}(x)=1,\quad\lim_{x\to1+}f^{\prime}(x)=m-1,\quad\lim_{x\to2-}f^{\prime}(x)=m-1,\quad\lim_{x\to2+}f^{\prime}(x)=0,$임을 알 수 있다. 한편 $\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(2)=m$이기 때문에 제시문 [나]로부터$\displaystyle \lim_{x\to1-}(f^{-1})^{\prime}(x)=1,\quad\lim_{x\to1+}(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac1{m-1},$$\displaystyle \lim_{x\to m-}(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac1{m-1},\quad\lim_{x\to m+}(f^{-1})^{\prime}(x)=\infty.$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle [0,c]$의 구간 내에서 $\displaystyle c<m$임으로 일반적인 $\displaystyle m>1$에 대하여 $\displaystyle x=1$에서만 $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(1)$이 존재하지 않는다. 그런데 $\displaystyle g(x)$의 정의에 따라 $\displaystyle x\ne1$인 경우, $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(x)$이 존재하고 연속이기 때문에 $\displaystyle g(x)$는 연속이고, $\displaystyle x=1$에서는$\displaystyle g(1)=\frac1{m-1},\quad\lim_{x\to1-}g(x)=1,\quad\lim_{x\to1+}g(x)=\frac1{m-1}$이기 때문에 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=1$에서만 일반적인 $\displaystyle m>1$에 대하여 불연속이 된다. 따라서 $\displaystyle h(x)=(x-\alpha)g(x)$는 $\displaystyle x\ne1$일 경우 연속이 된다. 이제 $\displaystyle x=1$일 경우를 살펴보면$\displaystyle h(1)=(1-\alpha)\frac1{m-1}$이고 $\displaystyle \lim_{x\to1-}h(x)=(1-\alpha)$, $\displaystyle \lim_{x\to1+}h(x)=\frac{1-\alpha}{m-1}$이기 때문에 $\displaystyle x=1$에서의 연속조건$\displaystyle h(1)=\lim_{x\to1-}h(x)=\lim_{x\to1+}h(x)$이 만족 되려면 $\displaystyle m>1$이기 때문에 $\displaystyle \alpha=1$이 되어야 한다.