자연계열 (1차) 2번

[문항 2-1]$\displaystyle x\ne0$일 때 $\displaystyle -|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0}|x|=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0$이다.따라서$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{2x+3x^2\sin(1/x)}x=\lim_{x\to0}\left(2+3x\sin\frac1x\right)=2$이다.

[문항 2-2]$\displaystyle a_n=\frac1{2\pi n}$ (또는 $\displaystyle a_n=-\frac1{2\pi n}$, $\displaystyle a_n=\frac1{4\pi n}$ 등도 가능함)일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$이고 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \cos\frac1{a_n}=1$을 만족한다.

[문항 2-3]$\displaystyle x\ne0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2+6x\sin\frac1x-3\cos\frac1x$이고, $\displaystyle a_n=\frac1{2\pi n}$일 때 $\displaystyle \sin\frac1{a_n}=0$, $\displaystyle \cos\frac1{a_n}=1$이므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac1{2n\pi}\right)=f^{\prime}\left(\frac1{2n\pi}\right)=2+0-3=-1$이다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{2n\pi}=0$이므로 $\displaystyle x=0$을 포함하는 열린 구간은 $\displaystyle f^{\prime}(a)=-1$을 만족하는 점 $\displaystyle x=a$을 항상 포함한다. 제시문 [나]에 의해서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$을 포함하는 어떤 열린 구간에서도 증가하지 않는다.

[문항 2-4]$\displaystyle f(x)=x$ 그리고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=2x^3\sqrt{1-x^4}$라 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1$이고 $\displaystyle g(x)=-\frac13(1-x^4)^{\frac32}$이다.제시문 [마]에 의해서$\displaystyle \int_0^1 2x^4\sqrt{1-x^4}\,dx=\Biggl[-\frac13x(1-x^4)^{\frac32}\Biggr]_0^1-\int_0^1-\frac13(1-x^4)^{\frac32}\,dx=\frac13\int_0^1(1-x^4)^{3/2}\,dx$이다.

[문항 2-5]제시문 [가]와 [마]에 의해서$\displaystyle \int_0^\pi p(x)\cos x\,dx=\Biggl[p(x)\sin x\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi p^{\prime}(x)\sin x\,dx=-\int_0^\pi p^{\prime}(x)\sin x\,dx$그리고$\displaystyle \int_0^\pi p^{\prime\prime}(x)\cos x\,dx=\Biggl[p^{\prime}(x)\cos x\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi p^{\prime}(x)(-\sin x)\,dx=-p^{\prime}(\pi)-p^{\prime}(0)+\int_0^\pi p^{\prime}(x)\sin x\,dx$이다.그러므로 $\displaystyle 3=\int_0^\pi[p(x)+p^{\prime\prime}(x)]\cos x\,dx=-p^{\prime}(\pi)-p^{\prime}(0)=-p^{\prime}(\pi)-5$이 성립한다.따라서 $\displaystyle p^{\prime}(\pi)=-8$이고 $\displaystyle p^{\prime}(\pi)$가 갖는 유일한 값은 $\displaystyle -8$이다.