자연계열 (1차) 1번

【1-1】$\displaystyle -\pi<x<0$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\cos x>0$이다. 따라서 제시문 [나]에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [-\pi,0]$에서 증가한다. 또한 $\displaystyle 0<x<\pi$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 증가한다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 각 구간 $\displaystyle [-\pi,0]$과 $\displaystyle [0,\pi]$에서 증가하므로 전체구간 $\displaystyle [-\pi,\pi]$에서 증가한다.

【1-2】$\displaystyle -\pi<y<\pi$일 때, $\displaystyle f(-\pi)=-\pi$이고 $\displaystyle f(\pi)=\pi$이므로 $\displaystyle f(-\pi)<y<f(\pi)$이다. 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle f(x)=y$인 $\displaystyle x$가 열린구간 $\displaystyle (-\pi,\pi)$에 적어도 하나 존재한다.

문항 【1-1】의 결과에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (-\pi,\pi)$에서 증가하므로 그와 같은 $\displaystyle x$는 오직 하나뿐이다.

【1-3】$\displaystyle x=g(y)$라고 하면 $\displaystyle y=f(x)=x-\sin x$이므로 $\displaystyle f(-x)=-f(x)=-y$이다. 따라서 함수 $\displaystyle g$의 정의에 의해 $\displaystyle -x=g(-y)$이다. 그러므로 $\displaystyle -g(y)=-x=g(-y)$이다.

【1-4】(i) $\displaystyle 0<y<\pi$일 때, $\displaystyle x=g(y)$라고 하면 $\displaystyle x>0$이고 $\displaystyle y=f(x)$이므로$\displaystyle |g(y)|^3>6|y|\;\Leftrightarrow\;x^3>6f(x)\;\Leftrightarrow\;x^3>6(x-\sin x)$이다.그러므로 $\displaystyle 0<t<\pi$인 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle t^3>6(t-\sin t)$를 증명하면 된다.

이를 위하여 함수 $\displaystyle h(t)=\frac{t^3}{6}-t+\sin t$를 생각하자. 이때 $\displaystyle h^{\prime}(t)=\frac{t^2}{2}-1+\cos t$, $\displaystyle h^{\prime\prime}(t)=t-\sin t$이다.$\displaystyle 0<t<\pi$일 때, $\displaystyle h^{\prime\prime}(t)=f(t)>0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(t)$가 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 증가한다. 따라서 $\displaystyle 0<t<\pi$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(t)>h^{\prime}(0)=0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle h(t)$가 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 증가한다.그러므로 $\displaystyle 0<t<\pi$일 때, $\displaystyle h(t)>h(0)=0$이다. 즉, $\displaystyle t^3>6(t-\sin t)$이므로 $\displaystyle g(y)^3>6y$이다.(ii) $\displaystyle y=0$일 때, $\displaystyle g(0)=0$이므로 당연히 성립한다.(iii) $\displaystyle -\pi<y<0$이면 $\displaystyle 0<-y<\pi$이므로 문항 【1-3】과 (i)에 의해서$\displaystyle |g(y)|^3=|-g(y)|^3=|g(-y)|^3>6|-y|=6|y|$그러므로 (i), (ii), (iii)에 의해서 열린구간 $\displaystyle (-\pi,\pi)$의 모든 $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle |g(y)|^3\ge6|y|$가 성립한다.