자연계열 (2차) 2번

서강대 2021학년도 수시 자연계열 (2차) 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2021su/jayeon2_2

[가] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1,x_2$ 에 대하여① $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$ 이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 증가한다고 한다.② $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)>f(x_2)$ 이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 감소한다고 한다.

[나] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능할 때,① 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 증가한다.② 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 감소한다.

[다] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 두 실수 $\displaystyle a,b$ 를 포함하는 구간에서 연속일 때, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라고 하면 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)$

[라] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 세 실수 $\displaystyle a,b,c$ 를 포함하는 구간에서 연속일 때, $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$

[마] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ , $\displaystyle \{b_n\}$ 이 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$ 일 때, 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n\le c_n\le b_n$ 을 만족하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ 이다.

제시문 [가], [나], [다], [라]를 이용하여 문항 【2-1】과 문항 【2-2】에 답하시오.

【2-1】 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)<g(x)$ 이면 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx<\int_a^b g(x)\,dx$

【2-2】 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [1,\infty)$ 에서 연속이고 증가할 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $\displaystyle f(1)+\int_1^n f(x)\,dx\le\sum_{k=1}^n f(k)<\int_1^{n+1}f(x)\,dx$

문항 【2-2】의 결과와 제시문 [마]를 이용하여 문항 【2-3】과 문항 【2-4】에 답하시오.

【2-3】 $\displaystyle p$ 가 자연수일 때, 다음 극한값을 구하시오. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p+1}}\sum_{k=1}^n k^p$

【2-4】 다음 극한값을 구하시오. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}$

해설강의 준비중

서강대 2021학년도 수시 자연계열 (2차) 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2021su/jayeon2_2

【2-1】 · 제시문 [나]에서 주어진 증가함수의 충분조건을 이용하여

\displaystyle g(x)-f(x)

의 한 부정적분

\displaystyle H(x)

가 구간

\displaystyle [a,b]

에서 증가함을 보일 수 있다.

【2-1】함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 의 한 부정적분을 각각 $\displaystyle F(x),G(x)$ 라고 하고, $\displaystyle H(x)=G(x)-F(x)$ 라고 놓자. 그러면 함수 $\displaystyle H(x)$ 는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle H^{\prime}(x)=G^{\prime}(x)-F^{\prime}(x)=g(x)-f(x)>0$ 이다. 따라서 제시문 [나]에 의하여 함수 $\displaystyle H(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 증가한다.

【2-1】 · 제시문 [다]에서 주어진 정적분의 정의를 이용하여 부등식에 나오는 두 정적분의 차가

\displaystyle H(b)-H(a)

이므로 양수임을 보일 수 있다.

그러므로 제시문 [다]를 이용하면 $\displaystyle \int_a^b g(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx=[G(b)-G(a)]-[F(b)-F(a)]=H(b)-H(a)>0$ 이므로 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx<\int_a^b g(x)\,dx$ 이다.

【2-2】 ·

\displaystyle k

가 임의의 자연수라고 할 때, 열린구간

\displaystyle (k,k+1)

의 모든

\displaystyle x

에 대하여

\displaystyle f(k)<f(x)<f(k+1)

을 명시한다.

【2-2】 $\displaystyle k$ 가 임의의 자연수라고 할 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [k,k+1]$ 에서 증가하므로 열린구간 $\displaystyle (k,k+1)$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(k)<f(x)<f(k+1)$ 이다.

【2-2】 · 문항 【2-2】의 결과를 이용하여

\displaystyle f(k)<\int_k^{k+1}f(x)\,dx<f(k+1)

임을 보일 수 있다.

Correction. 참조한 “문항 【2-2】”는 “문항 【2-1】”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 문항 【2-1】의 결과에 의하여 $\displaystyle f(k)=\int_k^{k+1}f(k)\,dx<\int_k^{k+1}f(x)\,dx<\int_k^{k+1}f(k+1)\,dx=f(k+1)$ 이다.

【2-2】 · 제시문 [라]를 이용하여 주어진 부등식을 증명할 수 있다.

임의의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$ 일 때의 부등식을 모두 더하면, 제시문 [라]에 의하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}f(x)\,dx=\int_1^{n+1}f(x)\,dx<\sum_{k=1}^n f(k+1)=\sum_{k=1}^{n+1}f(k)-f(1)$ 이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\int_1^{n+1}f(x)\,dx$ 이고 $\displaystyle f(1)+\int_1^{n+1}f(x)\,dx<\sum_{k=1}^{n+1}f(k)$ 이다. 그러므로 문제의 두 부등식 중에서 오른쪽 부등식은 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 성립하고, 왼쪽 부등식은 $\displaystyle n\ge2$ 일 때 성립한다. 또한 $\displaystyle n=1$ 일 때는 왼쪽 부등식이 등식으로 성립한다.

【2-3】 · 문항 [4-2]의 결과를 이용하여

\displaystyle \frac1{n^{p+1}}\sum_{k=1}^n k^p

에 대한 유용한 부등식을 유도할 수 있다.

Correction. “문항 [4-2]”는 “문항 【2-2】”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

【2-3】자연수 $\displaystyle p$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=x^p$ 은 구간 $\displaystyle [1,\infty)$ 에서 연속이고 증가한다. 따라서 문항 【2-2】의 결과에 의하여, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{n^{p+1}+p}{p+1}=1+\int_1^n x^p\,dx\le\sum_{k=1}^n k^p<\int_1^{n+1}x^p\,dx=\frac{(n+1)^{p+1}-1}{p+1}$ 이므로 $\displaystyle \frac1{p+1}\left(1+\frac p{n^{p+1}}\right)\le\frac1{n^{p+1}}\sum_{k=1}^n k^p<\frac1{p+1}\left\{\left(1+\frac1n\right)^{p+1}-\frac1{n^{p+1}}\right\}$ 이다.

【2-3】 · 극한값공식

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p+1}}=0

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{p+1}=1

을 명시한다.

그런데 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p+1}}=0$ 이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{p+1}=1$ 이므로

【2-3】 · 제시문 [마]를 이용하여 문제의 극한값을 계산할 수 있다.

제시문 [마]에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p+1}}\sum_{k=1}^n k^p=\frac1{p+1}$

【2-4】 · 함수

\displaystyle f(x)=-\frac1{\sqrt x}

은 구간

\displaystyle [1,\infty)

에서 연속이고 증가함을 명시한다.

【2-4】함수 $\displaystyle f(x)=-\frac1{\sqrt x}$ 은 구간 $\displaystyle [1,\infty)$ 에서 연속이고 증가한다.

【2-4】 · 문항 【2-2】의 결과를 이용하여

\displaystyle \frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}

에 대한 유용한 부등식을 유도할 수 있다.

따라서 문항 【2-2】의 결과에 의하여, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle (-1)+\int_1^n\left(-\frac1{\sqrt x}\right)dx\le\sum_{k=1}^n\left(-\frac1{\sqrt k}\right)<\int_1^{n+1}\left(-\frac1{\sqrt x}\right)dx$ 이고 $\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-1)=\int_1^{n+1}\frac1{\sqrt x}\,dx<\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\le1+\int_1^n\frac1{\sqrt x}\,dx=2\sqrt n-1$ 이므로 $\displaystyle 2\left(\sqrt{1+\frac1n}-\frac1{\sqrt n}\right)<\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\le2-\frac1{\sqrt n}$ 이다.

【2-4】 · 제시문 [마]를 이용하여 문제의 극한값을 계산할 수 있다.

따라서 제시문 [마]에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}=2$

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