자연계열 (2차) 2번

【2-1】함수 $\displaystyle f(x),g(x)$의 한 부정적분을 각각 $\displaystyle F(x),G(x)$라고 하고, $\displaystyle H(x)=G(x)-F(x)$라고 놓자. 그러면 함수 $\displaystyle H(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$의 모든 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle H^{\prime}(x)=G^{\prime}(x)-F^{\prime}(x)=g(x)-f(x)>0$이다. 따라서 제시문 [나]에 의하여 함수 $\displaystyle H(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 증가한다. 그러므로 제시문 [다]를 이용하면$\displaystyle \int_a^b g(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx=[G(b)-G(a)]-[F(b)-F(a)]=H(b)-H(a)>0$이므로$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx<\int_a^b g(x)\,dx$이다.

【2-2】$\displaystyle k$가 임의의 자연수라고 할 때, 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [k,k+1]$에서 증가하므로 열린구간 $\displaystyle (k,k+1)$의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(k)<f(x)<f(k+1)$이다. 따라서 문항 【2-1】의 결과에 의하여$\displaystyle f(k)=\int_k^{k+1}f(k)\,dx<\int_k^{k+1}f(x)\,dx<\int_k^{k+1}f(k+1)\,dx=f(k+1)$이다. 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$일 때의 부등식을 모두 더하면, 제시문 [라]에 의하여$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}f(x)\,dx=\int_1^{n+1}f(x)\,dx<\sum_{k=1}^n f(k+1)=\sum_{k=1}^{n+1}f(k)-f(1)$이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\int_1^{n+1}f(x)\,dx$이고$\displaystyle f(1)+\int_1^{n+1}f(x)\,dx<\sum_{k=1}^{n+1}f(k)$이다. 그러므로 문제의 두 부등식 중에서 오른쪽 부등식은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립하고, 왼쪽 부등식은 $\displaystyle n\ge2$일 때 성립한다. 또한 $\displaystyle n=1$일 때는 왼쪽 부등식이 등식으로 성립한다.

【2-3】자연수 $\displaystyle p$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=x^p$은 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서 연속이고 증가한다. 따라서 문항 【2-2】의 결과에 의하여, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \frac{n^{p+1}+p}{p+1}=1+\int_1^n x^p\,dx\le\sum_{k=1}^n k^p<\int_1^{n+1}x^p\,dx=\frac{(n+1)^{p+1}-1}{p+1}$이므로$\displaystyle \frac1{p+1}\left(1+\frac p{n^{p+1}}\right)\le\frac1{n^{p+1}}\sum_{k=1}^n k^p<\frac1{p+1}\left\{\left(1+\frac1n\right)^{p+1}-\frac1{n^{p+1}}\right\}$이다. 그런데$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p+1}}=0$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{p+1}=1$이므로 제시문 [마]에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p+1}}\sum_{k=1}^n k^p=\frac1{p+1}$

【2-4】함수 $\displaystyle f(x)=-\frac1{\sqrt x}$은 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서 연속이고 증가한다. 따라서 문항 【2-2】의 결과에 의하여, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle (-1)+\int_1^n\left(-\frac1{\sqrt x}\right)dx\le\sum_{k=1}^n\left(-\frac1{\sqrt k}\right)<\int_1^{n+1}\left(-\frac1{\sqrt x}\right)dx$이고$\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-1)=\int_1^{n+1}\frac1{\sqrt x}\,dx<\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\le1+\int_1^n\frac1{\sqrt x}\,dx=2\sqrt n-1$이므로$\displaystyle 2\left(\sqrt{1+\frac1n}-\frac1{\sqrt n}\right)<\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}\le2-\frac1{\sqrt n}$이다. 따라서 제시문 [마]에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}=2$