자연계열 (1차) 2번

【2-1】먼저 $\displaystyle x$의 값을 정하자. $\displaystyle x=i$($\displaystyle 0\le i\le m$)일 때, 방정식 $\displaystyle y+z+w=2m-2i$의 음이 아닌 정수해의 개수는 제시문 [다]에 의해 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{2m-2i}$이다.

제시문 [나]에 의해$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{2m-2i}={}_{3+(2m-2i)-1}\mathrm{C}_{2m-2i}={}_{2m-2i+2}\mathrm{C}_{2}$이므로, 구하는 정수해의 개수는$\displaystyle {}_{2m+2}\mathrm{C}_{2}+{}_{2m}\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{4}\mathrm{C}_{2}+{}_{2}\mathrm{C}_{2}=\sum_{i=1}^{m+1}{}_{2i}\mathrm{C}_{2}$이다. 등식 $\displaystyle {}_{2i}\mathrm{C}_{2}=\frac{2i(2i-1)}2$을 이용하면 위 합은$\displaystyle \sum_{i=1}^{m+1}(2i^2-i)=\frac{2(m+1)(m+2)(2m+3)}6-\frac{(m+1)(m+2)}2=\frac{(m+1)(m+2)(4m+3)}6$

【2-2】연속인 두 수가 포함되지 않고 가장 작은 수가 $\displaystyle k$가 되도록 세 수를 택하려면, 먼저 $\displaystyle k$를 뽑고 $\displaystyle k+2$부터 $\displaystyle n$까지의 $\displaystyle (n-k-1)$개의 자연수에서 연속이 아닌 서로 다른 두 수를 택하면 된다. 이렇게 택하는 방법의 수는 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle (n-k-1)$까지의 자연수에서 연속이 아닌 서로 다른 두 수를 택하는 방법의 수와 같음은 자명하다.

$\displaystyle 1$부터 $\displaystyle (n-k-1)$까지의 자연수에서 연속이 아닌 서로 다른 두 수는 제시문 [나]의 중복조합을 조합으로 변환시키는 방법을 활용하여 쉽게 구할 수 있다. $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle (n-k-3)$까지의 자연수에서 중복조합 $\displaystyle i$, $\displaystyle j$($\displaystyle 1\le i\le j\le n-k-3$)를 택하는 경우, 연속이 아닌 두 수의 조합으로 나타내기 위하여 첫 번째와 두 번째 수에 각각 $\displaystyle 0$, $\displaystyle 2$를 더하면 $\displaystyle i$, $\displaystyle (j+2)$를 얻는다. 이것은 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle (n-k-1)$까지의 자연수에서 연속이 아닌 두 수를 택한 조합이다. $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle (n-k-1)$까지의 자연수에서 연속이 아닌 서로 다른 두 수는 모두 이와 같은 방식으로 얻을 수 있으므로

구하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{n-k-3}\mathrm{H}_{2}={}_{n-k-2}\mathrm{C}_{2}$이다.

【2-3】 제시문 [나]의 중복조합을 조합으로 변환시키는 방법을 활용하여 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle n$까지의 자연수에서 연속인 두 수가 포함되지 않도록 서로 다른 세 수를 택할 수 있다.$\displaystyle 1$부터 $\displaystyle n-4$까지의 자연수에서 중복조합 $\displaystyle a,b,c$ ($\displaystyle 1\le a\le b\le c\le n-4$)를 택하는 경우, 연속인 두 수를 포함하지 않는 서로 다른 세 수의 조합으로 나타내기 위하여 각 경우의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 수에 각각 $\displaystyle 0$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$를 더하면 $\displaystyle a$, $\displaystyle (b+2)$, $\displaystyle (c+4)$를 얻는다. 이것은 $\displaystyle 1$부터 $\displaystyle n$까지의 자연수에서 연속하는 두 수가 포함되지 않도록 $\displaystyle 3$개를 택한 조합이다.

$\displaystyle 1$부터 $\displaystyle n$까지의 자연수에서 연속인 두 수를 포함하지 않는 서로 다른 세 수는 이와 같은 방법으로 모두 얻을 수 있으므로 구하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{n-4}\mathrm{H}_{3}={}_{n-2}\mathrm{C}_{3}$이다.

【2-4】문항 【2-2】의 풀이에서 연속인 두 수가 포함되지 않고 가장 작은 수가 $\displaystyle k$가 되도록 서로 다른 세 수를 택하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{n-k-2}\mathrm{C}_{2}$임을 보였다. $\displaystyle k=2,4,\cdots,n-4$에 대하여 이 값을 모두 더하면 연속인 두 수가 포함되지 않고 가장 작은 수가 짝수가 되도록 서로 다른 세 수를 택하는 방법의 수를 구할 수 있다. $\displaystyle n=2m$이라고 놓으면 구하는 방법의 수는$\displaystyle {}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}+\cdots+{}_{n-6}\mathrm{C}_{2}+{}_{n-4}\mathrm{C}_{2}=\sum_{i=1}^{m-2}{}_{2i}\mathrm{C}_{2}$이다.

$\displaystyle m^{\prime}=m-3$이라고 치환하면 $\displaystyle \sum_{i=1}^{m-2}{}_{2i}\mathrm{C}_{2}=\sum_{i=1}^{m^{\prime}+1}{}_{2i}\mathrm{C}_{2}$이므로 【2-1】의 풀이에 의하여 이 값은$\displaystyle \frac{(m^{\prime}+1)(m^{\prime}+2)(4m^{\prime}+3)}6=\frac{(m-2)(m-1)(4m-9)}6=\frac{(n-4)(n-2)(2n-9)}{24}$

【2-3】의 결과를 이용하면 구하는 조건부 확률은$\displaystyle \frac{\frac{(n-2)(n-4)(2n-9)}{24}}{\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}6}=\frac{2n-9}{4(n-3)}$