자연계열 (2차) 1번

【1-1】어떤 사람이 바이러스에 감염된 사건을 $\displaystyle A$, 바이러스 검사에서 양성 반응이 나타나는 사건을 $\displaystyle B$라 하자.

바이러스 검사에서 양성 반응이 나타날 확률은$\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)=P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B\mid A^c)$이므로$\displaystyle P(B)=r(1-p)+(1-r)q$

【1-2】바이러스 검사에서 음성 반응이 나타났을 때, 실제로는 바이러스에 감염되었을 확률은 조건부확률$\displaystyle P(A\mid B^c)=\frac{P(A)P(B^c\mid A)}{P(B^c)}$이다.

$\displaystyle P(B^c)=P(A\cap B^c)+P(A^c\cap B^c)=P(A)P(B^c\mid A)+P(A^c)P(B^c\mid A^c)$이므로$\displaystyle P(A\mid B^c)=\frac{rp}{rp+(1-r)(1-q)}$

【1-3】확률변수 $\displaystyle X$가 $\displaystyle 1,\alpha+1,\beta+1$일 확률은 각각 아래와 같다.(가) $\displaystyle P(X=1)$은 검사받은 사람이 감염자이고 결과가 양성이거나 검사받은 사람이 비감염자이고 결과가 음성일 확률이므로$\displaystyle \begin{aligned}P(X=1)&=P(A\cap B)+P(A^c\cap B^c)\\&=P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B^c\mid A^c)\\&=r(1-p)+(1-r)(1-q)\end{aligned}$(나) $\displaystyle P(X=\alpha+1)$은 검사받은 사람이 감염자이고 결과가 음성일 확률이므로$\displaystyle P(X=\alpha+1)=P(A\cap B^c)=P(A)P(B^c\mid A)=rp$(다) $\displaystyle P(X=\beta+1)$은 검사받은 사람이 비감염자이고 결과가 양성일 확률이므로$\displaystyle P(X=\beta+1)=P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B\mid A^c)=(1-r)q$이를 정리하면

이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=\{r(1-p)+(1-r)(1-q)\}+(\alpha+1)rp+(\beta+1)(1-r)q\\&=r\alpha p+(1-r)\beta q+1\end{aligned}$이다.

【1-4】$\displaystyle r\alpha=4(1-r)\beta$를 이용하면 $\displaystyle E(X)=(1-r)\beta(4p+q)+1$이다.$\displaystyle \frac1p+\frac1q=M$이므로 $\displaystyle 0<q=\frac{p}{Mp-1}<1$을 대입하여 $\displaystyle E(X)$를 $\displaystyle p$의 함수로 표현하면,

$\displaystyle \frac1{M-1}<p<1$이고 $\displaystyle E(X)=(1-r)\beta\left(4p+\frac{p}{Mp-1}\right)$이다. $\displaystyle (1-r)\beta>0$이므로 $\displaystyle h(p)=4p+\frac{p}{Mp-1}$를 최소로 하는 $\displaystyle p$를 구하자.$\displaystyle h^{\prime}(p)=4-\frac1{(Mp-1)^2}=0$을 만족하는 $\displaystyle p$를 찾으면 $\displaystyle Mp-1=\pm\frac12$이고 $\displaystyle Mp-1>0$이므로 $\displaystyle p=\frac3{2M}$이다.이때, $\displaystyle M>3$이므로 $\displaystyle \frac1{M-1}<p=\frac3{2M}<1$이다. 또한 $\displaystyle h^{\prime\prime}(p)=\frac{2M}{(Mp-1)^3}>0$이므로 함수 $\displaystyle h(p)$는 구간 $\displaystyle \left(\frac1{M-1},1\right)$에서 아래로 볼록하다. 따라서 $\displaystyle p=\frac3{2M}$에서 함수 $\displaystyle h(p)$가 최소가 된다.그러므로 $\displaystyle E(X)$를 최소로 하는 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 $\displaystyle p=\frac3{2M}$, $\displaystyle q=\frac3M$이다.