자연계열 (1차) 1번

서강대 2022학년도 수시 자연계열 (1차) 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2022su/jayeon1_1

[가] 어떤 시행에서 표본공간 $\displaystyle S$ 의 각 원소에 단 하나의 실수가 대응되는 함수를 확률변수라 하고, 확률변수 $\displaystyle X$ 가 어떤 값 $\displaystyle x$ 를 가질 확률을 기호로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)$ 와 같이 나타낸다.

[나] 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수가 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x_i)=p_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 일 때 확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값은 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{E}(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n=\sum_{i=1}^n x_ip_i$

[다] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 다음 등식이 성립한다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\int_a^b f(x)\,dx$ (단, $\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}n$ , $\displaystyle x_k=a+k\Delta x$ )

【1-1】 어느 봉사 동아리에서 신입 회원을 모집했는데, $\displaystyle 20$ 명의 학생이 지원 서류를 제출하였다. 그중에서 $\displaystyle 4$ 명의 남학생과 $\displaystyle 3$ 명의 여학생은 자신의 성별을 밝혔으나, 나머지 $\displaystyle 13$ 명은 성별을 밝히지 않았다. 그리고 성별을 밝히지 않은 학생이 남학생 또는 여학생일 확률은 각각 $\displaystyle \frac12$ 로 같다. $\displaystyle 20$ 명의 신입회원 신청자들 중에서 여학생의 수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 할 때, $\displaystyle X$ 의 확률질량함수와 분산을 구하시오.

【1-2】 이산확률변수 $\displaystyle X$ 가 자연수들로 이루어진 집합 $\displaystyle \{2n+1,2n+2,2n+3,\cdots,4n\}$ 에서 임의로 선택된 숫자일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2n\mathrm{E}\left(\frac1X\right)$ 를 구하시오.

【1-3】 한 개의 주사위를 던져 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ 이 나오면 동전 한 개를 던진다. 이때 앞면이 나오면 주사위에서 얻은 결과에 $\displaystyle 1$ 을 더하고 뒷면이 나오면 $\displaystyle 2$ 를 더한다. 한편, $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 6$ 이 나오면 금화 $\displaystyle 6$ 개와 은화 $\displaystyle 4$ 개가 들어있는 주머니에서 임의로 두 개를 동시에 꺼내어 금화 두 개가 나오면 주사위에서 얻은 결과에서 $\displaystyle 1$ 을 빼고 아니면 $\displaystyle 2$ 를 뺀다. 이렇게 해서 얻어진 결과가 $\displaystyle 4$ 이상일 때, 처음 던진 주사위의 눈이 짝수일 확률을 구하시오.

【1-4】 정상적인 동전의 한 면은 빨간색, 다른 면은 초록색이고 각 면이 나올 확률은 같다. 반면, 비정상적인 동전의 한 면은 빨간색, 다른 면은 파란색이고 빨간색 면이 나올 확률은 $\displaystyle p$ 이다.두 개의 주머니 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 있다. 주머니 $\displaystyle A$ 에는 정상적인 동전과 비정상적인 동전이 한 개씩 들어있고, 주머니 $\displaystyle B$ 에는 정상적인 동전 한 개와 비정상적인 동전 두 개가 들어있다.주머니 $\displaystyle B$ 에서 동전 한 개를 임의로 꺼내어 주머니 $\displaystyle A$ 에 넣은 후 주머니 $\displaystyle A$ 에서 두 개의 동전을 동시에 꺼내어 던졌다. 이때 같은 색의 면이 나올 확률이 $\displaystyle \frac49$ 가 되게 하는 $\displaystyle p$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

논술 조화수와 로그함수

관련 개념강의 준비중

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· 【1-1】 확률변수

\displaystyle X

에서 3을 빼면 이항분포를 갖는 확률변수가 되는 것을 파악하고, 이항분포를 갖는 확률변수의 확률질량함수와 분산을 구할 수 있다. 두 확률변수의 관계와 분산의 성질을 이용하여 주어진 확률변수의 확률질량함수와 분산을 구할 수 있다.

【1-1】 성별을 밝히지 않은 $\displaystyle 13$ 명의 신청자 중에서 여학생의 수를 확률변수 $\displaystyle Y$ 라고 하면, $\displaystyle Y$ 는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(13,\frac12\right)$ 을 따른다. 따라서, $\displaystyle Y$ 의 확률질량함수 $\displaystyle \mathrm{P}(Y=y)={}_{13}\mathrm{C}_y\left(\frac12\right)^y\left(\frac12\right)^{13-y}={}_{13}\mathrm{C}_y\left(\frac12\right)^{13}\quad(y=0,1,2,\cdots,13)$ 이고 $\displaystyle Y$ 의 분산 $\displaystyle \mathrm{V}(Y)=13\times\frac12\times\frac12=\frac{13}4$ 이다. $\displaystyle X=Y+3$ 이므로 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수 $\displaystyle \mathrm{P}(X=x)=\mathrm{P}(Y=x-3)={}_{13}\mathrm{C}_{x-3}\left(\frac12\right)^{13}\quad(x=3,4,5,\cdots,16)$ 이고 $\displaystyle X$ 의 분산 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=\mathrm{V}(Y+3)=\mathrm{V}(Y)=\frac{13}4$ 이다.

· 【1-2】 이산확률변수의 기댓값을 구할 수 있다. 제시문 [다]에 주어진 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하기 위하여 식을 변형한 후 정적분으로 고쳐서 계산할 수 있다.

【1-2】 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle \mathrm{E}\left(\frac1X\right)=\sum_{k=1}^{2n}\frac1{2n}\frac1{2n+k}$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}2n\mathrm{E}\left(\frac1X\right)&=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}+\frac1{2n+3}+\cdots+\frac1{4n}\\&=\sum_{k=1}^n\frac1{2n+k}+\sum_{k=1}^n\frac1{3n+k}\\&=\sum_{k=1}^n\frac1{2+\frac kn}\times\frac1n+\sum_{k=1}^n\frac1{3+\frac kn}\times\frac1n\end{aligned}$ 이다. 따라서, 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}2n\mathrm{E}\left(\frac1X\right)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{2+\frac kn}\times\frac1n+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{3+\frac kn}\times\frac1n=\int_0^1\frac1{2+x}\,dx+\int_0^1\frac1{3+x}\,dx\\&=\ln(2+x)\big|_0^1+\ln(3+x)\big|_0^1=\ln3-\ln2+\ln4-\ln3=\ln\frac42=\ln2\end{aligned}$ 이다.

· 【1-3】 확률의 곱셈정리를 이용하여 각 사건이 일어날 확률을 계산할 수 있다. 조건부확률을 이해하고 주어진 사건이 일어날 확률을 계산할 수 있다.

【1-3】 주사위 던지기와 그 이후 실행은 서로 독립이므로 확률의 곱셈정리를 이용하여 각각의 사건이 일어날 확률을 계산하면 다음과 같다.

최종 결과가 $\displaystyle 4$ 이상인 사건을 $\displaystyle A$ 라고 하면, $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{12}+\frac1{18}+\frac1{18}+\frac19=\frac{17}{36}$ 이다. 처음 던진 주사위의 눈이 짝수인 사건을 $\displaystyle B$ 라고 하면, 구하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(B|A)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\frac1{12}+\frac1{18}+\frac19}{\frac{17}{36}}=\frac9{17}$ 이다.

· 【1-4】 추가된 동전이 정상적인 동전일 확률과 그렇지 않을 확률을 계산할 수 있다. 문제의 상황을 잘 이해하고 경우를 나눈 후, 확률의 곱셈정리와 덧셈정리를 이용하여 각 사건이 일어날 확률을 계산할 수 있다. 위에서 구한 확률을 이용하여 방정식을 만든 후 방정식을 풀어서 확률이 될 수 있는 값을 찾아낼 수 있다.

【1-4】 주머니 $\displaystyle A$ 에 추가된 동전이 정상적인 동전일 확률은 $\displaystyle \frac13$ , 비정상적인 동전일 확률은 $\displaystyle \frac23$ 이다.(ⅰ) 추가된 동전이 정상적인 동전인 경우:주머니 $\displaystyle A$ 에는 정상적인 동전 $\displaystyle 2$ 개, 비정상적인 동전 $\displaystyle 1$ 개가 들어있다. 같은 색의 면이 나오려면, ①정상적인 동전과 비정상적인 동전을 하나씩 꺼내서 던진 후 둘 다 빨간색 면이 나오거나 ②정상적인 동전 $\displaystyle 2$ 개를 꺼내서 던진 후 둘 다 빨간색 면이 나오거나 둘 다 초록색 면이 나와야 한다. 따라서, 이 경우에 같은 색의 면이 나올 확률은 $\displaystyle \frac23\times\frac12\times p+\frac13\times\left(\frac12\times\frac12+\frac12\times\frac12\right)=\frac13p+\frac16$ 이다.(ⅱ) 추가된 동전이 비정상적인 동전인 경우:주머니 $\displaystyle A$ 에는 정상적인 동전 $\displaystyle 1$ 개, 비정상적인 동전 $\displaystyle 2$ 개가 들어있다. 같은 색의 면이 나오려면, ①정상적인 동전과 비정상적인 동전을 하나씩 꺼내서 던진 후 둘 다 빨간색 면이 나오거나 ②비정상적인 동전 $\displaystyle 2$ 개를 꺼내서 던진 후 둘 다 빨간색 면이 나오거나 둘 다 파란색 면이 나와야 한다. 따라서, 이 경우에 같은 색의 면이 나올 확률은 $\displaystyle \frac23\times\frac12\times p+\frac13\left(p^2+(1-p)^2\right)=\frac23p^2-\frac13p+\frac13$ 이다.그러므로 같은 색의 면이 나올 확률이 $\displaystyle \frac49$ 가 되려면 $\displaystyle \frac13\left(\frac13p+\frac16\right)+\frac23\left(\frac23p^2-\frac13p+\frac13\right)=\frac49$ 를 만족해야 한다. 이를 정리하면 $\displaystyle 8p^2-2p-3=0$ , 즉 $\displaystyle (4p-3)(2p+1)=0$ 이다.그러므로 구하는 확률 $\displaystyle p=\frac34$ 이다.

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