자연계열 (1차) 2번

【2-1】 $\displaystyle 1$보다 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle (1+n)^{\frac1n}<1+\sqrt{\frac2{n-1}}$의 양변이 양수이므로, 양변을 $\displaystyle n$제곱하여 얻게 되는 부등식$\displaystyle 1+n<\left(1+\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^n\qquad(1)$이 성립함을 보이면 된다. 제시문 [가]를 이용하여 (1)의 우변을 전개하면,$\displaystyle \begin{aligned}&\left(1+\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^n\qquad(2)\\&={}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)+{}_n\mathrm{C}_2\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^n\end{aligned}$을 얻게 된다. (2)의 우변의 각 항이 양수이므로,$\displaystyle \begin{aligned}&{}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)+{}_n\mathrm{C}_2\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^n\\&>{}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_2\left(\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^2=1+\frac{n(n-1)}2\times\frac2{n-1}=1+n\end{aligned}$이다. 따라서, 부등식$\displaystyle 1+n<\left(1+\sqrt{\frac2{n-1}}\right)^n$ ($\displaystyle n$은 $\displaystyle 1$보다 큰 자연수)이 성립한다.

【2-2】 (ⅰ) 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle p(x)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}$이라고 할 때, $\displaystyle p(x)>0$임을 보이자.$\displaystyle p^{\prime}(x)=\frac{-\frac1{x^2}}{1+\frac1x}+\frac1{(x+1)^2}=-\frac1{x(x+1)}+\frac1{(x+1)^2}=-\frac1{x(x+1)^2}<0$이므로 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle p(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소한다. 또한,$\displaystyle \lim_{x\to\infty}p(x)=\lim_{x\to\infty}\ln\left(1+\frac1x\right)-\lim_{x\to\infty}\frac1{x+1}=0-0=0$이다. 따라서 $\displaystyle p(x)>0$이다.(ⅱ) 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle q(x)=\frac1{\sqrt{x(x+1)}}-\ln\left(1+\frac1x\right)$이라고 할 때, 위와 같은 방법으로 $\displaystyle q(x)>0$임을 보이자.$\displaystyle q^{\prime}(x)=-\frac{2x+1}{2x(x+1)\sqrt{x(x+1)}}+\frac1{x(x+1)}=-\frac{(2x+1)-2\sqrt{x(x+1)}}{2x(x+1)\sqrt{x(x+1)}}<0$이다. 여기서, $\displaystyle (2x+1)^2-(2\sqrt{x(x+1)})^2=1>0$이고 $\displaystyle 2x+1>0$, $\displaystyle 2\sqrt{x(x+1)}>0$이므로 분자가 양수임을 이용하였다. 그러므로 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle q(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 감소한다. 또한,$\displaystyle \lim_{x\to\infty}q(x)=\lim_{x\to\infty}\frac1{\sqrt{x(x+1)}}-\lim_{x\to\infty}\ln\left(1+\frac1x\right)=0-0=0$이다. 따라서 $\displaystyle q(x)>0$이다.그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 부등식이 성립한다.

【2-3】 $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x>0$이므로 자연로그를 취할 수 있다. $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac1x\right)^x$의 양변에 자연로그를 취하면 $\displaystyle \ln f(x)=x\ln\left(1+\frac1x\right)$이다. 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ln\left(1+\frac1x\right)+x\times\left(-\frac1{x(x+1)}\right)=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}$이므로 문항 【2-2】에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=p(x)f(x)>0$이다. 따라서, 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가한다.

【2-4】 문항 【2-3】에 의하여 $\displaystyle f(x)$가 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가하고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$이므로 $\displaystyle f(x)<e\ (x>0)$이다. 따라서 $\displaystyle x>1$이면 $\displaystyle f(x)<e<3=g(x)$이다.한편, $\displaystyle 0<x\le1$이면, $\displaystyle \frac1x\ge1$이므로 $\displaystyle \frac1x$의 정수 부분인 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 1\le n\le\frac1x<n+1$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle 0<x\le\frac1n\le1$이므로 문항 【2-3】과 $\displaystyle g(x)$의 정의에 의하여 $\displaystyle f(x)\le f\left(\frac1n\right)=g(x)$이다.그러므로, 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le g(x)$이다.

【2-5】 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\sqrt{\frac2{n-1}}\right)=1$이고 문항 【2-1】로부터$\displaystyle 1<(1+n)^{\frac1n}<1+\sqrt{\frac2{n-1}}$ ($\displaystyle n$은 $\displaystyle 1$보다 큰 자연수)이므로 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1+n)^{\frac1n}=1$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}g(x)=1$이다.또한, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}g(x)=1$이고 문항 【2-4】로부터 $\displaystyle 1<f(x)\le g(x)\ (x>0)$이므로 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=1$이다.한편, 문항 【2-3】으로부터 $\displaystyle f^{\prime}(x)=p(x)f(x)$이므로,$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=p^{\prime}(x)f(x)+p(x)f^{\prime}(x)=f(x)(p^{\prime}(x)+p^2(x))$이다. 또한,$\displaystyle \begin{aligned}p^{\prime}(x)+p^2(x)&=\frac1{(x+1)^2}-\frac1{x(x+1)}+\left\{\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right\}^2\\&=\frac2{(x+1)^2}-\frac1{x(x+1)}-\frac2{x+1}\times\ln\left(1+\frac1x\right)+\left\{\ln\left(1+\frac1x\right)\right\}^2\\&=\frac2{x+1}\left\{\frac1{x+1}-\ln\left(1+\frac1x\right)\right\}+\left\{\ln\left(1+\frac1x\right)+\frac1{\sqrt{x(x+1)}}\right\}\left\{\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{\sqrt{x(x+1)}}\right\}\\&=-\frac2{x+1}\times p(x)-\left\{\ln\left(1+\frac1x\right)+\frac1{\sqrt{x(x+1)}}\right\}\times q(x)\end{aligned}$이다. 문항 【2-2】로부터 $\displaystyle p(x)>0$이고 $\displaystyle q(x)>0$이므로 $\displaystyle p^{\prime}(x)+p^2(x)<0$이다. 따라서 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 위로 볼록하며 변곡점은 존재하지 않는다.함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형을 그리기 위하여 제시문 [라]의 내용을 확인하면 다음과 같다.① 정의역: $\displaystyle \{x\mid x>0$인 실수$\displaystyle \}$, 치역: $\displaystyle \{y\mid1<y<e$인 실수$\displaystyle \}$② 좌표축과의 교점은 없다.③ 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가한다.　$\displaystyle f(x)$의 극값은 존재하지 않는다.　곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 위로 볼록하며 변곡점은 존재하지 않는다.④ 점근선: $\displaystyle y=e$따라서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.