자연계열 (2차) 1번

【1-1】 (ⅰ) $\displaystyle 3$번의 경기 중에서 $\displaystyle 2$번을 먼저 이기는 팀이 우승하는 방식에서, A팀이 우승하기 위해서는 남은 $\displaystyle 2$경기를 모두 이겨야 하므로, 우승할 확률 $\displaystyle p_1=p^2$이다.(ⅱ) $\displaystyle 5$번의 경기 중에서 $\displaystyle 3$번을 먼저 이기는 팀이 우승하는 방식을 고려하자.① $\displaystyle 4$차전까지 진행되는 경우: $\displaystyle 3$경기를 모두 연달아 이겨야 하므로 확률은 $\displaystyle p^3$이다.② $\displaystyle 5$차전까지 진행되는 경우: 마지막 경기는 반드시 이겨야 하고, 나머지 세 경기 중 한 번만 져야 하므로 확률은 $\displaystyle 3p^3(1-p)$이다.따라서, 이 방식에서 A팀이 우승할 확률 $\displaystyle p_2=p^3+3p^3(1-p)$이다.A팀이 우승할 확률이 변하지 않으려면 $\displaystyle p_1=p_2$를 만족해야 하므로$\displaystyle p^2=p^3+3p^3(1-p)$, 즉 $\displaystyle p^2(3p-1)(p-1)=0$이다. 따라서 조건 $\displaystyle 0<p<1$로부터 $\displaystyle p=\frac13$이다.

【1-2】 함수 $\displaystyle f(x)$가 열린 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 연속이 되기 위해서는$\displaystyle b-ae^{-2p}=ae^{2p}$, 즉, $\displaystyle ae^{4p}-be^{2p}+a=0$을 만족해야 한다. $\displaystyle X=e^{2p}$라고 하면,$\displaystyle aX^2-bX+a=0\quad(X>1)$Caution. 구간별로 다르게 정의된 함수에 주의해야 한다: $\displaystyle p>0$이라는 조건이 없다. $\displaystyle p\le0$이면 정의역 $\displaystyle (0,\infty)$ 전체에서 $\displaystyle f(x)=ae^{2x}$이므로 연속이다. 대학 예시답안은 $\displaystyle p>0$인 경우만 다루었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 만족해야 한다. 따라서,$\displaystyle X=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}$이고 $\displaystyle X>1$이어야 한다.(ⅰ) $\displaystyle b>2a>0$이므로 $\displaystyle \frac{b+\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}>\frac b{2a}>1$이므로 $\displaystyle X=\frac{b+\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}$는 해가 된다.(ⅱ) $\displaystyle \frac{b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}$과 $\displaystyle 1$의 대소관계를 알아보기 위하여 $\displaystyle 1$에서 $\displaystyle \frac{b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}$을 빼면$\displaystyle 1-\frac{b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}=\frac{\sqrt{b^2-4a^2}-(b-2a)}{2a}>0$이다. 여기서, $\displaystyle \sqrt{b^2-4a^2}>0$, $\displaystyle b-2a>0$이고$\displaystyle (b^2-4a^2)-(b-2a)^2=4ab-8a^2=4a(b-2a)>0$이므로 분자가 양수임을 이용하였다. 따라서 $\displaystyle \frac{b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}<1$이 되어 $\displaystyle \frac{b-\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}$는 해가 아니다.그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle p=\frac12\ln X=\frac12\ln\left(\frac{b+\sqrt{b^2-4a^2}}{2a}\right)$이다.

【1-3】 $\displaystyle g(x)=xe^{-x}$에 대하여, $\displaystyle g(0)=0$, $\displaystyle g(1)=e^{-1}$이고 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 속한 임의의 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g^{\prime}(x)=(1-x)e^{-x}>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 증가함수가 되어 $\displaystyle g:[0,1]\to\left[0,\frac1e\right]$는 일대일대응이다. 따라서 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle g$의 역함수 $\displaystyle g^{-1}:\left[0,\frac1e\right]\to[0,1]$가 존재하며, $\displaystyle g^{-1}(x)=xe^{g^{-1}(x)}$를 만족한다. 한편 함수 $\displaystyle f:\left[0,\frac1e\right]\to[0,1]$가 정의역에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=xe^{f(x)}$, 즉 $\displaystyle (g\circ f)(x)=x$를 만족하므로 $\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle f$의 역함수가 존재하며 $\displaystyle f^{-1}(x)=g(x)=xe^{-x}$이다.따라서 $\displaystyle \int_0^{\frac1e}f(x)\,dx+\int_0^1g(x)\,dx$는 두 변의 길이가 $\displaystyle 1$, $\displaystyle \frac1e$인 직사각형의 넓이와 같으므로$\displaystyle \int_0^{\frac1e}f(x)\,dx=\frac1e-\int_0^1xe^{-x}\,dx=\frac1e-\left(-xe^{-x}\big|_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx\right)=\frac1e-\left(1-\frac2e\right)=\frac3e-1$이다.

【1-4】 주어진 항등식 $\displaystyle f(x)-2f(2x)=\frac3{x^4}$의 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle 2x$를 넣어서 얻은 등식에 $\displaystyle 2$를 곱하면$\displaystyle 2f(2x)-2^2f(2^2x)=\frac3{x^4}\times\frac18$을 얻는다. 같은 방식으로 $\displaystyle 2f(2x)-2^2f(2^2x)=\frac3{x^4}\times\frac18$의 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle 2x$를 넣어서 얻은 등식에 $\displaystyle 2$를 곱하면$\displaystyle 2^2f(2^2x)-2^3f(2^3x)=\frac3{x^4}\times\left(\frac18\right)^2$을 얻는다. 이를 반복하여 얻은 등식을 일렬로 나열하면$\displaystyle \begin{aligned}f(x)-2f(2x)&=\frac3{x^4}\\2f(2x)-2^2f(2^2x)&=\frac3{x^4}\times\frac18\\2^2f(2^2x)-2^3f(2^3x)&=\frac3{x^4}\times\left(\frac18\right)^2\\&\vdots\\2^{n-1}f(2^{n-1}x)-2^nf(2^nx)&=\frac3{x^4}\times\left(\frac18\right)^{n-1}\end{aligned}$이므로 좌변과 우변을 각각 더하면$\displaystyle f(x)-2^nf(2^nx)=\sum_{k=1}^n\frac3{x^4}\times\left(\frac18\right)^{k-1}$이다. 제시문 [다]에 의하여 우변은 수렴하며 이 등비급수의 합은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac3{x^4}\times\left(\frac18\right)^{k-1}=\frac{24}{7x^4}$이다. 따라서$\displaystyle g(x)=\lim_{n\to\infty}2^nf(2^nx)=f(x)-\frac{24}{7x^4}$이므로$\displaystyle \int_1^2g(x)\,dx=\int_1^2f(x)\,dx-\int_1^2\frac{24}{7x^4}\,dx=3+\frac8{7x^3}\bigg|_1^2=3-1=2$이다.