자연계열 (2차) 2번

【2-1】 제시문 [나]의 평균값 정리에 의해서$\displaystyle f'(r)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{3-3}{2-1}=0$을 만족하는 $\displaystyle r$이 열린구간 $\displaystyle (1,2)$에 존재하며$\displaystyle f'(s)=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{5-3}{2-1}=2$Correction. $\displaystyle f(3)-f(2)$에 대응하는 분모는 $\displaystyle 3-2$이므로, $\displaystyle 2-1$은 $\displaystyle 3-2$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.를 만족하는 $\displaystyle s$가 열린구간 $\displaystyle (2,3)$에 존재한다. 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해서 이계도함수 $\displaystyle f''(x)$가 존재하므로 $\displaystyle f'(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [r,s]$에서 연속이다.$\displaystyle f'(r)=0,\ f'(s)=2,\ 0<\frac32<2$이므로 제시문 [가]에 주어진 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle f'(a)=\frac32$를 만족하는 $\displaystyle a$가 열린구간 $\displaystyle (r,s)$에 존재한다.또한 평균값 정리를 닫힌구간 $\displaystyle [r,s]$와 미분가능한 함수 $\displaystyle f'(x)$에 적용하면$\displaystyle f''(b)=\frac{f'(s)-f'(r)}{s-r}=\frac2{s-r}$을 만족하는 $\displaystyle b$가 열린구간 $\displaystyle (r,s)$에 존재한다. 구간 $\displaystyle (r,s)$는 구간 $\displaystyle (1,3)$에 포함되므로 $\displaystyle s-r<2$가 성립하고 따라서 $\displaystyle f''(b)>1$이다.

【2-2】 구간 $\displaystyle [2,\infty)$에서 임의의 $\displaystyle x$를 택하자. $\displaystyle x=2n+c$를 만족하는 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle 0\le c<2$가 존재하므로$\displaystyle \int_{-x}^xf(t)\,dt=\int_{-2n-c}^{2n+c}f(t)\,dt=\int_{-2n-c}^{-2n}f(t)\,dt+\int_{-2n}^{2n}f(t)\,dt+\int_{2n}^{2n+c}f(t)\,dt$이고, $\displaystyle f(x)$가 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x+2)=f(x)$를 만족하므로$\displaystyle \int_{-2n}^{2n}f(t)\,dt=2n\int_0^2f(t)\,dt\quad\text{이고}\quad\int_{2n}^{2n+c}f(t)\,dt=\int_0^cf(2n+t)\,dt=\int_0^cf(t)\,dt$이다.$\displaystyle \int_0^2f(x)\,dx=\int_0^1f(x)\,dx+\int_1^2f(x)\,dx=\int_2^3f(x)\,dx+\int_1^2f(x)\,dx=\int_1^3f(x)\,dx=1$이므로$\displaystyle \frac1x\int_{-x}^xf(t)\,dt=\frac{2n}x+\frac1x\int_0^cf(t)\,dt+\frac1x\int_{-c}^0f(t)\,dt$이다. 이때 $\displaystyle \frac{x-2}x\le\frac{2n}x\le1$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x-2}x=1$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2n}x=1$이다.이제, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1x\int_0^cf(t)\,dt=0$임을 보이자. $\displaystyle c=0$인 경우에는 당연히 성립하므로, $\displaystyle 0<c<2$라 가정하자.함수 $\displaystyle |f(x)|$가 닫힌구간 $\displaystyle [0,2]$에서 연속이므로 제시문 [다]의 최대·최소 정리에 의하여 함수 $\displaystyle |f(x)|$는 최댓값을 갖는다. 최댓값을 $\displaystyle M$이라고 하면, 구간 $\displaystyle [0,c]$에 속하는 임의의 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle -M\le f(x)\le M$이므로$\displaystyle -2M\le-cM=\int_0^c(-M)\,dt\le\int_0^cf(t)\,dt\le\int_0^cM\,dt=cM\le2M$이 성립한다. 이때 $\displaystyle -\frac{2M}x\le\frac1x\int_0^cf(t)\,dt\le\frac{2M}x$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2M}x=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1x\int_0^cf(t)\,dt=0$이다.마찬가지로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1x\int_{-c}^0f(t)\,dt=0$이 성립한다. 그러므로, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1x\int_{-x}^xf(t)\,dt=1$이다.

【2-3】 제시문 [라]로부터 $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$일 때 $\displaystyle \frac1{\tan x}<\frac1x<\frac1{\sin x}$이므로$\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}<\frac1x,\ \text{즉}\ x\cos x-\sin x<0$이다. 따라서,$\displaystyle f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}<0$이 성립하여 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 감소한다.

【2-4】 제시문 [라]로부터 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 $\displaystyle f(x)<1$이고, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=1$이다.열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi6\right)$에서 임의의 $\displaystyle x$를 택하자. 문항 【2-3】에 의하여 $\displaystyle f(t)=\frac{\sin t}t$가 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 감소하므로 $\displaystyle x\le t\le3x$인 임의의 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle \frac{\sin3x}{3x}\le\frac{\sin t}t<1$이다. 각 변을 $\displaystyle k$제곱하고 $\displaystyle \frac1t$를 곱하면$\displaystyle 0<\left(\frac{\sin3x}{3x}\right)^k\frac1t\le\frac{\sin^kt}{t^{k+1}}\le\frac1t$이다. 따라서 정적분과 곡선 및 $\displaystyle x$축 사이의 넓이의 관계를 이용하면$\displaystyle \left(\frac{\sin3x}{3x}\right)^k\int_x^{3x}\frac1t\,dt=\int_x^{3x}\left(\frac{\sin3x}{3x}\right)^k\frac1t\,dt\le\int_x^{3x}\frac{\sin^kt}{t^{k+1}}\,dt\le\int_x^{3x}\frac1t\,dt$이다. $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\left(\frac{\sin3x}{3x}\right)^k=1$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\int_x^{3x}\frac1t\,dt=\ln3$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\int_x^{3x}\frac{(f(t))^k}t\,dt=\lim_{x\to0^+}\int_x^{3x}\frac{\sin^kt}{t^{k+1}}\,dt=\ln3$이다.