자연계열 (1차) 1번

【1-1】 구간 $\displaystyle [-1,0)$에서 $\displaystyle f(x)=x$는 증가하는 함수이다. $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)\le f(0)\le\lim_{x\to0^+}f(x)$를 만족해야 하므로 $\displaystyle 0\le d\le c\le n$을 얻는다. 그리고 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle f(x)$가 증가할 조건은 아래의 그림처럼 세 가지의 경우로 나누어 찾을 수 있다.

① $\displaystyle a=0$일 때, $\displaystyle 0<b\le n$을 만족해야 하므로 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle n$② $\displaystyle a>0$일 때, $\displaystyle -\frac ba\le0$을 만족해야 하므로 $\displaystyle 0\le b\le n$이 되어 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle n(n+1)$③ $\displaystyle a<0$일 때, $\displaystyle -\frac ba\ge1$을 만족해야 하므로 $\displaystyle 0<-a\le b\le n$이 되어 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle \frac{n(n+1)}2$그러므로 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle n+n(n+1)+\frac{n(n+1)}2=\frac{n(3n+5)}2$이다.한편, $\displaystyle (c,d)$는 $\displaystyle 0\le d\le c\le n$을 만족해야 하므로, $\displaystyle (c,d)$의 개수는 $\displaystyle {}_{n+1}\mathrm{H}_2={}_{n+2}\mathrm{C}_2=\frac{(n+2)(n+1)}2$이다.

【1-2】 ($\displaystyle f(x)$가 연속함수일 조건) 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [-1,0)$과 $\displaystyle (0,1]$에서 다항함수이므로 연속이다. $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle f(x)$가 연속일 조건은 $\displaystyle f(0)=d$, $\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=0$, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=c$가 모두 같은 것이다. 따라서 $\displaystyle c=d=0$이다.($\displaystyle f(x)$가 미분가능할 조건) 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle (-1,0)$과 $\displaystyle (0,1)$에서 다항함수이므로 미분가능하다.$\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle f(x)$가 미분가능할 조건은 $\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{\frac a2h^2+bh-0}h=b$와 $\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{h-0}h=1$이 같은 것이다.따라서 $\displaystyle b=1$이다.($\displaystyle f(x)$가 증가하고 미분가능할 조건) $\displaystyle b=1$이어야 하므로 문항 【1-1】로부터 $\displaystyle -1\le a\le n$이다.(적분 조건) $\displaystyle \int_{-1}^0f(x)\,dx=\int_{-1}^0x\,dx=-\frac12$이므로 $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx\le\frac32$이어야 한다. 따라서,$\displaystyle \frac32\ge\int_0^1\left(\frac a2x^2+x\right)dx=\frac a6+\frac12$즉, $\displaystyle a\le6$이다.그러므로 $\displaystyle n\ge6$일 때 $\displaystyle -1\le a\le6$이고, $\displaystyle 1\le n\le5$일 때 $\displaystyle -1\le a\le n$이다.따라서 $\displaystyle (c,d)$의 개수는 $\displaystyle 1$이고, $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle 1\le n\le5$일 때 $\displaystyle n+2$이고 $\displaystyle n\ge6$일 때 $\displaystyle 8$이다.

【1-3】 정수 $\displaystyle a,b,c,d$는 각각 $\displaystyle -n$보다 크거나 같고 $\displaystyle n$보다 작거나 같으므로 근원사건의 개수는 $\displaystyle (2n+1)^4$이다.($\displaystyle f(x)$가 연속함수일 확률) 문항 【1-2】로부터 $\displaystyle f(x)$가 연속함수일 $\displaystyle a,b,c,d$의 개수는 $\displaystyle (2n+1)^2$이므로 $\displaystyle f(x)$가 연속함수일 확률은 $\displaystyle \frac{(2n+1)^2}{(2n+1)^4}=\frac1{(2n+1)^2}$이다.($\displaystyle f(x)$가 증가하는 연속함수일 확률) 문항 【1-2】로부터 $\displaystyle f(x)$가 증가하는 연속함수일 $\displaystyle a,b,c,d$의 개수는 $\displaystyle \frac{n(3n+5)}2$이므로 $\displaystyle f(x)$가 증가하는 연속함수일 확률은 $\displaystyle \frac{n(3n+5)}{2(2n+1)^4}$이다.그러므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{n(3n+5)}{2(2n+1)^2}$이다.

【1-4】 ($\displaystyle f(x)$가 증가할 확률) 문항 【1-1】로부터 $\displaystyle f(x)$가 증가할 $\displaystyle a,b,c,d$의 개수는 $\displaystyle \frac{n(3n+5)(n+1)(n+2)}4$이므로 $\displaystyle f(x)$가 증가할 확률은 $\displaystyle \frac{n(3n+5)(n+1)(n+2)}{4(2n+1)^4}$이다.($\displaystyle f(x)$가 미분가능하고 증가할 확률) 문항 【1-2】로부터 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하고 증가할 $\displaystyle a,b,c,d$의 개수는 $\displaystyle n+2$이므로 $\displaystyle f(x)$가 미분가능하고 증가할 확률은 $\displaystyle \frac{n+2}{(2n+1)^4}$이다.그러므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac4{n(3n+5)(n+1)}$이다.