자연계열 (2차) 2번

【2-1】 $\displaystyle f(x)=x^4-8x^2-1$이라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3-16x=4x(x+2)(x-2)$이므로, 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 그 그래프를 그리면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc}x&\cdots&-2&\cdots&0&\cdots&2&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&-&0&+&0&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&-17&\nearrow&-1&\searrow&-17&\nearrow\end{array}$

$\displaystyle f(1)=-8<0$이고 $\displaystyle f(3)=8>0$이라는 사실과 $\displaystyle f(x)$의 그래프에 의해 방정식 $\displaystyle x^4-8x^2-1=0$의 $\displaystyle 1$보다 큰 해는 오직 하나 존재한다.

【2-2】 $\displaystyle y=\frac1x$을 미분하면 $\displaystyle y^{\prime}=-\frac1{x^2}$이므로 제시문 [가]에 의해 두 접선 $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$의 방정식은 각각$\displaystyle y-t=-t^2\left(x-\frac1t\right),\quad y-\frac1t=-\frac1{t^2}(x-t)$, 즉, $\displaystyle y=-t^2x+2t,\quad y=-\frac1{t^2}x+\frac2t$이다.$\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하기 위해$\displaystyle -t^2x+2t=-\frac1{t^2}x+\frac2t$을 풀면 $\displaystyle t>1$이기 때문에$\displaystyle x=\frac{2t}{t^2+1}$따라서, 교점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2t}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1}\right)$이다.

$\displaystyle b=\frac{2t}{t^2+1}$라 놓고 $\displaystyle S(t)$를 적분과 사다리꼴의 넓이를 이용하여 계산하면,$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_{\frac1t}^t\frac1x\,dx-\frac12(t+b)\left(b-\frac1t\right)-\frac12\left(b+\frac1t\right)(t-b)\\&=\ln t-\ln\frac1t-b\left(t-\frac1t\right)\\&=2\ln t-\frac{2(t^2-1)}{t^2+1}\end{aligned}$

【2-3】 함수 $\displaystyle y=t-2\ln t\ (t>1)$의 최솟값을 구하기 위해, $\displaystyle g(t)=t-2\ln t\ (t>1)$라고 하면 $\displaystyle g^{\prime}(t)=1-\frac2t=\frac{t-2}t$이므로 함수 $\displaystyle g(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}t&1&\cdots&2&\cdots\\\hline g^{\prime}(t)&&-&0&+\\\hline g(t)&&\searrow&2-2\ln2&\nearrow\end{array}$따라서 $\displaystyle y=t-2\ln t\ (t>1)$의 최솟값은 $\displaystyle 2-2\ln2$이다.그러므로 $\displaystyle t>1$일 때, $\displaystyle \frac{2(t^2-1)}{t^2+1}>0$와 $\displaystyle \ln2<\ln e=1$임을 이용하면$\displaystyle t-S(t)=t-2\ln t+\frac{2(t^2-1)}{t^2+1}>t-2\ln t\ge2-2\ln2=2(1-\ln2)>0$이 되어 $\displaystyle S(t)<t$이다.

【2-4】 $\displaystyle S(t)=2\ln t-\frac{2(t^2-1)}{t^2+1}$이므로$\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac2t-2\times\frac{2t(t^2+1)-(t^2-1)(2t)}{(t^2+1)^2}=\frac2t-\frac{8t}{(t^2+1)^2}$이고$\displaystyle S^{\prime\prime}(t)=-\frac2{t^2}-8\left\{\frac1{(t^2+1)^2}-\frac{4t^2}{(t^2+1)^3}\right\}=-\frac2{t^2}-\frac8{(t^2+1)^2}+\frac{32t^2}{(t^2+1)^3}$따라서 $\displaystyle \lim_{t\to1^+}S^{\prime}(t)=\frac21-\frac8{(1^2+1)^2}=0$이고 $\displaystyle t^2(t^2+1)^3S^{\prime\prime}(t)=-2(t^2+1)^3-8t^2(t^2+1)+32t^4$이다.

【2-5】 $\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac2t-\frac{8t}{(t^2+1)^2}=2\times\frac{(t^2+1)^2-(2t)^2}{t(t^2+1)^2}=\frac{2(t+1)^2(t-1)^2}{t(t^2+1)^2}$이므로, 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에 속하는 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle S^{\prime}(t)>0$이다. 따라서 $\displaystyle S(t)$의 극값은 존재하지 않고 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle S(t)$는 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 증가한다. 또한,$\displaystyle \lim_{t\to1^+}S(t)=\lim_{t\to1^+}\left\{2\ln t-\frac{2(t^2-1)}{t^2+1}\right\}=2\ln1-\frac{2(1^2-1)}{1^2+1}=0$이고$\displaystyle \lim_{t\to\infty}S(t)=\lim_{t\to\infty}\left\{2\ln t-\frac{2(t^2-1)}{t^2+1}\right\}=\infty$이므로 치역은 $\displaystyle (0,\infty)$이다.$\displaystyle h(t)=t^4-8t^2-1$라 하면, $\displaystyle S^{\prime\prime}(t)=\frac{-2(t^2-1)h(t)}{t^2(t^2+1)^3}$이다. 따라서 $\displaystyle t>1$일 때, $\displaystyle S^{\prime\prime}(a)=0$이고 문항 【2-1】의 $\displaystyle y=x^4-8x^2-1$의 그래프로부터 다음을 알 수 있다.① $\displaystyle 1<t<a$이면 $\displaystyle h(t)<0$이므로 $\displaystyle S^{\prime\prime}(t)>0$이 되어 곡선 $\displaystyle y=S(t)$는 아래로 볼록② $\displaystyle t>a$이면 $\displaystyle h(t)>0$이므로 $\displaystyle S^{\prime\prime}(t)<0$이 되어 곡선 $\displaystyle y=S(t)$는 위로 볼록그러므로 점 $\displaystyle (a,S(a))$는 변곡점이다.따라서 $\displaystyle y=S(t)$의 그래프의 개형을 그린 후, 이를 직선 $\displaystyle y=t$에 대칭이 되도록 역함수 $\displaystyle y=S^{-1}(t)$의 그래프의 개형을 그리면 다음 그림과 같다.