자연계열 (2차) 1번

【1-1】 그림 $\displaystyle 1$과 같은 도로망에서 $\displaystyle \mathrm{P}$지점을 출발하여 $\displaystyle \mathrm{Q}$지점까지 최단 경로로 이동하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5!}{3!2!}=10$이므로, 근원사건의 개수는 $\displaystyle 10\times10=100$이다.

서강이와 한국이가 도중에 만나지 않고 이동하는 경우의 수는 다음과 같이 두 가지로 나누어 구할 수 있다.① 서강이가 그림 $\displaystyle 2$처럼 $\displaystyle \mathrm{F}$지점과 $\displaystyle \mathrm{B}$지점을 통과하는 경우: 이때 한국이는 그림 $\displaystyle 3$처럼 $\displaystyle \mathrm{I}$지점과 $\displaystyle \mathrm{E}$지점을 통과해야 한다.② 서강이가 그림 $\displaystyle 3$처럼 $\displaystyle \mathrm{I}$지점과 $\displaystyle \mathrm{E}$지점을 통과하는 경우: 이때 한국이는 그림 $\displaystyle 2$처럼 $\displaystyle \mathrm{F}$지점과 $\displaystyle \mathrm{B}$지점을 통과해야 한다.① 서강이가 $\displaystyle \mathrm{F}$지점과 $\displaystyle \mathrm{B}$지점을 통과하는 경우:

①-ⓐ (그림 $\displaystyle 4$) 서강이가 PFCABQ(빨간 선)인 경로로 이동하는 경우, 한국이가 이동할 수 있는 경로는 $\displaystyle 3$가지(검은 선)이다.①-ⓑ (그림 $\displaystyle 5$) 서강이가 PFCDBQ(빨간 선)인 경로로 이동하는 경우, 한국이가 이동할 수 있는 경로는 $\displaystyle 2$가지(검은 선)이다.①-ⓒ (그림 $\displaystyle 6$) 서강이가 PFGDBQ(빨간 선)인 경로로 이동하는 경우, 한국이가 이동할 수 있는 경로는 $\displaystyle 1$가지(검은 선)이다.따라서, ①에 해당하는 경우의 수는 $\displaystyle 3+2+1=6$가지이다.② 서강이가 $\displaystyle \mathrm{I}$지점과 $\displaystyle \mathrm{E}$지점을 통과하는 경우:①에서 서강이와 한국이가 택한 경로를 서로 맞바꾸면 되므로 ①에 해당하는 경우의 수와 같이 $\displaystyle 6$가지이다.그러므로 서강이와 한국이가 도중에 만나지 않고 이동하는 경우의 수는 $\displaystyle 6+6=12$가지이다.따라서 서강이와 한국이가 이동 중에 만나지 않고 $\displaystyle \mathrm{Q}$지점에 도착할 확률은 $\displaystyle \frac{12}{100}=\frac3{25}$이다.

【1-2】 ① 문자 g가 기호 ♡의 왼쪽에 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 ‘g♡’, ‘I’, ‘S’, ‘o’, ‘a’, ‘n’, ‘g’를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로, $\displaystyle 7!=5040$이다.② 문자 g가 기호 ♡의 오른쪽에 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 ‘♡g’, ‘I’, ‘S’, ‘o’, ‘a’, ‘n’, ‘g’를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로, $\displaystyle 7!=5040$이다.③ 문자 g가 기호 ♡의 왼쪽 및 오른쪽에 각각 이웃하도록 나열하는 경우의 수는 ‘g♡g’, ‘I’, ‘S’, ‘o’, ‘a’, ‘n’을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로, $\displaystyle 6!=720$이다.따라서, 기호 ♡와 문자 g가 이웃하도록 나열하는 경우의 수는$\displaystyle 5040+5040-720=9360$

【1-3】 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=f^{\prime}(t)$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=f^{\prime}(t)\cos f(t)$이므로 제시문 [나]에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 속력은$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{f^{\prime}(t)\cos f(t)\}^2}=|f^{\prime}(t)|\sqrt{1+\cos^2f(t)}$$\displaystyle x=\frac\pi3$일 때의 시각을 $\displaystyle t_0$라고 하면, $\displaystyle f(t_0)=x=\frac\pi3$이고 이때 속력이 $\displaystyle 1$이므로$\displaystyle |f^{\prime}(t_0)|\sqrt{1+\cos^2f(t_0)}=|f^{\prime}(t_0)|\sqrt{1+\frac14}=1$따라서 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=f^{\prime}(t_0)=\pm\frac{2\sqrt5}{5}$이고 $\displaystyle \frac{dy}{dt}=f^{\prime}(t_0)\cos f(t_0)=\pm\frac{2\sqrt5}{5}\cos\frac\pi3=\pm\frac{\sqrt5}{5}$이다.그러므로, $\displaystyle x=\frac\pi3$에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 가능한 속도는 제시문 [나]에 의해$\displaystyle \left(\frac{2\sqrt5}{5},\frac{\sqrt5}{5}\right),\quad\left(-\frac{2\sqrt5}{5},-\frac{\sqrt5}{5}\right)$

【1-4】 직사각형의 넓이를 $\displaystyle S(t)$라고 하면,$\displaystyle S(t)=2\left(\frac\pi2-t\right)\times2\sin t=4\left(\frac\pi2-t\right)\sin t\quad\left(0<t<\frac\pi2\right)$$\displaystyle S^{\prime}(t)=-4\left\{\sin t-\left(\frac\pi2-t\right)\cos t\right\}=-4\cos t\left\{\tan t-\left(\frac\pi2-t\right)\right\}$이고 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$일 때 $\displaystyle \cos t\ne0$이므로 $\displaystyle S^{\prime}(t)=0$이기 위해서는 $\displaystyle \tan t=\frac\pi2-t$를 만족해야 한다.$\displaystyle 0<t<\frac\pi2$에 대하여 $\displaystyle f(t)=\tan t$, $\displaystyle g(t)=\frac\pi2-t$라고 할 때, 두 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. $\displaystyle f(0)<g(0)$, $\displaystyle \lim_{t\to\frac\pi2^-}f(t)=\infty$, $\displaystyle g\left(\frac\pi2\right)=0$이라는 사실과 $\displaystyle f(t)$와 $\displaystyle g(t)$의 그래프에 의해 방정식 $\displaystyle f(t)=g(t)$는 오직 하나의 실근을 갖는다. 이 실근을 $\displaystyle t_0$라고 하고, 함수 $\displaystyle S(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}t&0&\cdots&t_0&\cdots&\frac\pi2\\\hline S^{\prime}(t)&&+&0&-&\\\hline S(t)&&\nearrow&&\searrow&\end{array}$따라서, $\displaystyle S(t)$는 $\displaystyle t=t_0$일 때만 최대가 된다.또한, $\displaystyle \tan t_0=\frac\pi2-t_0$이므로 정적분의 값은$\displaystyle \int_0^{t_0}(1+\sec^2x)\,dx=\Biggl[x+\tan x\Biggr]_0^{t_0}=t_0+\tan t_0=t_0+\left(\frac\pi2-t_0\right)=\frac\pi2$