자연계열 (1차) 2번

【2-1】 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=e^{3t}+(t+1)e^t$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\sqrt{(2t-t^2)e^{2t}+2t}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 움직인 거리는$\displaystyle \int_{\frac12}^{\ln2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\int_{\frac12}^{\ln2}\sqrt{(e^{3t}+te^t+e^t)^2+(2t-t^2)e^{2t}+2t}\,dt$근호 안의 식을 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}\{e^{3t}+(t+1)e^t\}^2+(2t-t^2)e^{2t}+2t&=t(2e^{4t}+4e^{2t}+2)+e^{6t}+2e^{4t}+e^{2t}\\&=2t(e^{4t}+2e^{2t}+1)+e^{2t}(e^{4t}+2e^{2t}+1)\\&=(2t+e^{2t})(e^{2t}+1)^2\end{aligned}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int_{\frac12}^{\ln2}(e^{2t}+1)\sqrt{e^{2t}+2t}\,dt$이다.$\displaystyle e^{2t}+2t=u$로 놓으면 $\displaystyle \frac{du}{dt}=2(e^{2t}+1)$이고, $\displaystyle t=\frac12$일 때 $\displaystyle u=e+1$, $\displaystyle t=\ln2$일 때 $\displaystyle u=4+2\ln2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 움직인 거리는$\displaystyle \int_{\frac12}^{\ln2}(e^{2t}+1)\sqrt{e^{2t}+2t}\,dt=\frac12\int_{e+1}^{4+2\ln2}\sqrt{u}\,du=\frac{(4+2\ln2)^{\frac32}-(e+1)^{\frac32}}3$

【2-2】 $\displaystyle g(x)=2e^x-x^2$이라고 하면, $\displaystyle g^{\prime}(x)=2(e^x-x)>0$이므로 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle g(x)$는 증가한다. $\displaystyle g(0)=2>0$이므로 $\displaystyle x\ge0$에서 $\displaystyle g(x)>0$이 되어 부등식 $\displaystyle 2e^x>x^2$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle 0<xe^{-x}<\frac2x$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac2x=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0$이다.함수 $\displaystyle f(x)=xe^{-x}$의 정의역은 실수 전체의 집합이고, $\displaystyle f(0)=0$이므로 원점을 지난다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=(1-x)e^{-x}$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(x-2)e^{-x}$이므로, 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극댓값 $\displaystyle e^{-1}$을 갖고, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 변곡점의 좌표는 $\displaystyle (2,2e^{-2})$이다. 또 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

【2-3】 직사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_0$의 넓이는 $\displaystyle (t-c)e^{-t}$이다. 그리고, 제시문 [라]에 의하여, 곡선 $\displaystyle y=e^{-x}$ 위의 점 $\displaystyle (t,e^{-t})$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^{-t}$이다. 따라서 이 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle t_1=t+1$이 되어, 직사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_1$의 넓이는 $\displaystyle e^{-t-1}$이다. 직사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_0$와 $\displaystyle \mathrm{R}_1$의 넓이의 합을 $\displaystyle S(t)$라고 하면$\displaystyle S(t)=(t-c)e^{-t}+e^{-t-1}=(t-c+e^{-1})e^{-t}\quad(t>c)$이 되어 $\displaystyle S^{\prime}(t)=(1-t+c-e^{-1})e^{-t}$이므로, 함수 $\displaystyle S(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}t&c&\cdots&1+c-e^{-1}&\cdots\\\hline S^{\prime}(t)&&+&0&-\\\hline S(t)&&\nearrow&e^{-1-c+e^{-1}}&\searrow\end{array}$따라서 함수 $\displaystyle S(t)$는 $\displaystyle t=c+1-e^{-1}$에서 최댓값 $\displaystyle e^{-1-c+e^{-1}}$을 갖는다.최댓값이 $\displaystyle \frac1e$이므로 $\displaystyle c=\frac1e$이다.

【2-4】 직사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_0$의 넓이는 $\displaystyle (t-e^{-1})e^{-t}$이다. $\displaystyle k=1,2,3,\cdots,n$일 때, 곡선 $\displaystyle y=e^{-x}$ 위의 점 $\displaystyle (t+k-1,e^{-t-k+1})$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-e^{-t-k+1}(x-t-k+1)+e^{-t-k+1}$이다. 따라서 이 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle t_k=t+k$이 되어, 직사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_k$의 넓이는 $\displaystyle e^{-t-k}$이다. 직사각형 $\displaystyle \mathrm{R}_0$, $\displaystyle \mathrm{R}_1$, $\displaystyle \mathrm{R}_2$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \mathrm{R}_n$의 넓이의 합을 $\displaystyle A(t)$라고 하면$\displaystyle A(t)=(t-e^{-1})e^{-t}+e^{-t}\sum_{k=1}^n e^{-k}\quad(t>e^{-1})$$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n e^{-k}$이라고 하면, $\displaystyle A(t)=(t-e^{-1}+S_n)e^{-t}$이 되어$\displaystyle A^{\prime}(t)=(1-t+e^{-1}-S_n)e^{-t}$그러므로 함수 $\displaystyle A(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}t&e^{-1}&\cdots&1+e^{-1}-S_n&\cdots\\\hline A^{\prime}(t)&&+&0&-\\\hline A(t)&&\nearrow&&\searrow\end{array}$따라서 함수 $\displaystyle A(t)$는 $\displaystyle t=a_n=1+e^{-1}-S_n$에서 최댓값을 갖는다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}$은 첫째항이 $\displaystyle e^{-1}$, 공비가 $\displaystyle e^{-1}$인 등비급수이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}=\frac1{e-1}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1+\frac1e-\frac1{e-1}$