자연계열 (1차) 1번

【1-1】 원 $\displaystyle x^2+y^2=25$의 중심 $\displaystyle (0,0)$과 직선 $\displaystyle ax+2y+5b=0$ 사이의 거리는 제시문 [가]에 의하여 $\displaystyle \frac{5|b|}{\sqrt{a^2+4}}$이다. 직선 $\displaystyle ax+y+5b=0$이 원 $\displaystyle x^2+y^2=25$와 만나려면 $\displaystyle \frac{5|b|}{\sqrt{a^2+4}}\le5$이어야 하므로Correction. 직선의 방정식에서 $\displaystyle y$의 계수 $\displaystyle 2$가 빠졌다. $\displaystyle ax+2y+5b=0$이 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle |b|\le\sqrt{a^2+4}$$\displaystyle \sqrt{a^2+4}<|a|+1$이면 $\displaystyle |b|\le\sqrt{a^2+4}<|a|+1$이므로 $\displaystyle |b|\le|a|$이다.$\displaystyle \sqrt{a^2+4}<|a|+1$이려면 $\displaystyle a^2+4<a^2+2|a|+1$이므로 $\displaystyle |a|>\frac32$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle |a|\ge2$이면 $\displaystyle |b|\le|a|$이다.(ⅰ) $\displaystyle a=0$이면, $\displaystyle |b|\le2$이므로 가능한 $\displaystyle b$는 $\displaystyle b=-2,-1,0,1,2$이다.(ⅱ) $\displaystyle |a|=1$이면, $\displaystyle |b|\le\sqrt5$이므로 가능한 $\displaystyle b$는 $\displaystyle b=-2,-1,0,1,2$이다.(ⅲ) $\displaystyle 2\le|a|\le100$이면, $\displaystyle |b|\le|a|$이므로 가능한 $\displaystyle b$는 $\displaystyle b=-|a|,-|a|+1,\cdots,0,\cdots,|a|-1,|a|$이다.(ⅰ)~(ⅲ)에 의하여, 직선 $\displaystyle ax+y+5b=0$이 원 $\displaystyle x^2+y^2=25$와 만나도록 하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수는$\displaystyle 5+2\times5+2\sum_{k=2}^{100}(2k+1)=9+2\sum_{k=1}^{100}(2k+1)=9+4\times\frac{100\times101}2+200=20409$

【1-2】 (ⅰ) $\displaystyle x=0$일 때, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로 연속이다. 따라서 $\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)$이다.$\displaystyle f(0)=b$이고$\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\sqrt{1+3x^2}}x=\lim_{x\to0^+}\frac{-3x^2}{x(1+\sqrt{1+3x^2})}=0$이므로 $\displaystyle b=0$이다.또한, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$이다.$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{ax}x=a$이고$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\sqrt{1+3x^2}}{x^2}=\lim_{x\to0^+}\frac{-3x^2}{x^2(1+\sqrt{1+3x^2})}=-\frac32$이므로 $\displaystyle a=-\frac32$이다.(ⅱ) $\displaystyle x=1$일 때, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하므로 연속이다. 따라서 $\displaystyle f(1)=\lim_{x\to1^-}f(x)$이다.$\displaystyle f(1)=c+d$이고$\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{1-\sqrt{1+3x^2}}x=-1$이므로 $\displaystyle c+d=f(1)=-1$이다.또한, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$이다.$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}\frac{(cx+d)-(c+d)}{x-1}=c$이고$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim_{x\to1^-}\frac{x+1-\sqrt{1+3x^2}}{x(x-1)}=\lim_{x\to1^-}\frac{(x+1)^2-(1+3x^2)}{x(x-1)(x+1+\sqrt{1+3x^2})}\\&=\lim_{x\to1^-}\frac{-2x^2+2x}{x(x-1)(x+1+\sqrt{1+3x^2})}=\lim_{x\to1^-}\frac{-2}{x+1+\sqrt{1+3x^2}}=-\frac12\end{aligned}$이므로 $\displaystyle c=-\frac12$이고, $\displaystyle c+d=-1$에서 $\displaystyle d=-\frac12$이다.그러므로 $\displaystyle a=-\frac32$, $\displaystyle b=0$, $\displaystyle c=-\frac12$, $\displaystyle d=-\frac12$이다.

【1-3】 $\displaystyle s=x-t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{ds}{dt}=-1$이고, $\displaystyle t=0$일 때 $\displaystyle s=x$, $\displaystyle t=x$일 때 $\displaystyle s=0$이다. 그러므로$\displaystyle \int_0^x tf(x-t)\,dt=-\int_x^0(x-s)f(s)\,ds=\int_0^x(x-s)f(s)\,ds=x\int_0^x f(s)\,ds-\int_0^x sf(s)\,ds$이므로$\displaystyle x\int_0^x f(s)\,ds-\int_0^x sf(s)\,ds=x^2e^{-x^2}$양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle \int_0^x f(s)\,ds+xf(x)-xf(x)=2xe^{-x^2}-2x^3e^{-x^2}$이므로$\displaystyle \int_0^x f(s)\,ds=(2x-2x^3)e^{-x^2}$양변을 다시 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle f(x)=(4x^4-10x^2+2)e^{-x^2}$이다. 따라서 $\displaystyle f(0)=2$이다.한편,$\displaystyle \int_{-2}^3 f(x)\,dx=\int_{-2}^0 f(s)\,ds+\int_0^3 f(s)\,ds=-\int_0^{-2}f(s)\,ds+\int_0^3 f(s)\,ds$이고 $\displaystyle \int_0^x f(s)\,ds=(2x-2x^3)e^{-x^2}$이므로$\displaystyle -\int_0^{-2}f(s)\,ds+\int_0^3 f(s)\,ds=-12e^{-4}-48e^{-9}$그러므로$\displaystyle f(0)\times\int_{-2}^3 f(x)\,dx=-24e^{-4}-96e^{-9}=-\frac{24e^5+96}{e^9}$

【1-4】 $\displaystyle f(x)=kx^3+x^2-x\ln x$라고 하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=3kx^2+2x-\ln x-1$$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6kx+2-\frac1x=\frac{6kx^2+2x-1}x$곡선 $\displaystyle y=f(x)\ (x>0)$의 변곡점의 개수를 구하기 위하여 방정식 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$, 즉, $\displaystyle 6kx^2+2x-1=0$의 $\displaystyle 0$보다 큰 해를 조사하자.(ⅰ) $\displaystyle k=0$일 때방정식 $\displaystyle 6kx^2+2x-1=0$은 오직 하나의 해 $\displaystyle x=\frac12$을 갖는다. $\displaystyle f^{\prime\prime}\left(\frac12\right)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$의 부호가 $\displaystyle x=\frac12$의 좌우에서 바뀌므로 주어진 곡선은 한 개의 변곡점을 갖는다.(ⅱ) $\displaystyle k\ne0$일 때이차방정식 $\displaystyle 6kx^2+2x-1=0$의 판별식을 $\displaystyle D$라고 하면 $\displaystyle \frac D4=1+6k$이다.① $\displaystyle D<0$, 즉 $\displaystyle k<-\frac16$이면 방정식 $\displaystyle 6kx^2+2x-1=0$은 실근을 갖지 않는다. 따라서 모든 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이 되어 주어진 곡선은 변곡점을 갖지 않는다.② $\displaystyle D=0$, 즉 $\displaystyle k=-\frac16$이면 방정식 $\displaystyle 6kx^2+2x-1=0$은 중근 $\displaystyle x=1$을 갖는다. 따라서 모든 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\frac{(x-1)^2}x\le0$이 되어 주어진 곡선은 변곡점을 갖지 않는다.③ $\displaystyle D>0$, 즉 $\displaystyle -\frac16<k<0$ 또는 $\displaystyle k>0$이면 방정식 $\displaystyle 6kx^2+2x-1=0$은 서로 다른 두 실근 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)를 갖는다. 근과 계수의 관계에 의하여, $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac2{6k}$이고 $\displaystyle \alpha\beta=-\frac1{6k}$이다.㉠ $\displaystyle -\frac16<k<0$이면 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 모두 $\displaystyle 0$보다 큰 실근이다. $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{6k(x-\alpha)(x-\beta)}x$의 부호가 $\displaystyle x=\alpha$, $\displaystyle x=\beta$의 좌우에서 바뀌므로, 주어진 곡선은 두 개의 변곡점을 갖는다.㉡ $\displaystyle k>0$이면 $\displaystyle \beta$만 $\displaystyle 0$보다 큰 실근이다. $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{6k(x-\alpha)(x-\beta)}x$의 부호가 $\displaystyle x=\beta$의 좌우에서 바뀌므로, 주어진 곡선은 한 개의 변곡점을 갖는다.따라서 변곡점의 개수는 $\displaystyle k\le-\frac16$일 때 $\displaystyle 0$, $\displaystyle k\ge0$일 때 $\displaystyle 1$, $\displaystyle -\frac16<k<0$일 때 $\displaystyle 2$이다.