자연계열 (2차) 1번

【1-1】 $\displaystyle f(x)=2ax^3-3bx^2+b^2$이라고 하자.방정식 $\displaystyle 2ax^3-3bx^2+b^2=0$이 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는 다음 세 조건을 만족해야 한다.① 삼차방정식이어야 한다.② $\displaystyle f(x)$가 극대와 극소를 둘 다 가져야 한다.③ $\displaystyle f(x)$의 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다.(ⅰ) ①에 의하여 $\displaystyle a\ne0$이어야 하므로 $\displaystyle a>0$이다.(ⅱ) $\displaystyle f^{\prime}(x)=6ax^2-6bx=6x(ax-b)$이므로 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=\frac ba$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이다. 따라서 ②에 의하여 $\displaystyle b\ne0$이어야 하므로 $\displaystyle b>0$이다.(ⅲ) $\displaystyle f(0)=b^2>0$이므로 ③에 의하여 $\displaystyle f\left(\frac ba\right)<0$이어야 한다.$\displaystyle f\left(\frac ba\right)=2a\left(\frac ba\right)^3-3b\left(\frac ba\right)^2+b^2=-\frac{b^3}{a^2}+b^2<0$이므로 $\displaystyle b>a^2$이다. 또한, $\displaystyle b\le100$이므로 $\displaystyle a\le9$이다.따라서 $\displaystyle k\le9$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a=k$이면 $\displaystyle a^2<b\le100$을 만족하는 $\displaystyle b$의 개수는 $\displaystyle 100-k^2$이다.그러므로 구하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle \sum_{k=1}^9(100-k^2)$이다. 등식 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$을 이용하면$\displaystyle \sum_{k=1}^9(100-k^2)=100\times9-\frac{9\times10\times19}6=615$

【1-2】 $\displaystyle 1-x^3=t$로 놓으면 $\displaystyle -3x^2\frac{dx}{dt}=1$이고, $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=1$, $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle t=0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=\int_0^1x^8(1-x^3)^n\,dx=-\frac13\int_1^0(1-t)^2t^n\,dt=\frac13\int_0^1(1-2t+t^2)t^n\,dt\\&=\frac13\int_0^1(t^n-2t^{n+1}+t^{n+2})\,dt=\frac13\Biggl[\frac1{n+1}t^{n+1}-\frac2{n+2}t^{n+2}+\frac1{n+3}t^{n+3}\Biggr]_0^1\\&=\frac13\left(\frac1{n+1}-\frac2{n+2}+\frac1{n+3}\right)\end{aligned}$제$\displaystyle n$항까지의 부분합을 $\displaystyle S_n$이라고 하면$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\frac13\left(\frac1{k+1}-\frac2{k+2}+\frac1{k+3}\right)=\frac13\sum_{k=1}^n\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)-\frac13\sum_{k=1}^n\left(\frac1{k+2}-\frac1{k+3}\right)\\&=\frac13\left\{\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)\right\}-\frac13\left\{\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)\right\}\\&=\frac13\left(\frac12-\frac1{n+2}\right)-\frac13\left(\frac13-\frac1{n+3}\right)=\frac1{18}-\frac1{3(n+2)}+\frac1{3(n+3)}\end{aligned}$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{18}-\frac1{3(n+2)}+\frac1{3(n+3)}\right\}=\frac1{18}$따라서 제시문 [나]에 의하여 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$은 수렴하고 그 합은 $\displaystyle \frac1{18}$이다.

【1-3】 $\displaystyle f(x)=cx^n$이라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=cnx^{n-1}$이다. 제시문 [가]에 의하여 점 $\displaystyle (a,ca^n)$에서의 접선 $\displaystyle l_n$의 방정식은 $\displaystyle y-ca^n=cna^{n-1}(x-a)$이므로 $\displaystyle y=cna^{n-1}x-c(n-1)a^n$이다.따라서 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle -c(n-1)a^n$, $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \frac{n-1}na$이므로$\displaystyle \begin{aligned}A_n&=\int_0^a cx^n\,dx-\frac12\left(a-\frac{n-1}na\right)\times ca^n\\&=\Biggl[\frac c{n+1}x^{n+1}\Biggr]_0^a-\frac c{2n}a^{n+1}\\&=\frac c{n+1}a^{n+1}-\frac c{2n}a^{n+1}\\&=\frac{c(n-1)}{2n(n+1)}a^{n+1}\end{aligned}$$\displaystyle B_n=\frac12c(n-1)a^n\times\frac{n-1}na=\frac{c(n-1)^2}{2n}a^{n+1}$

그러므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2A_n}{B_n}=\lim_{n\to\infty}n^2\times\frac{c(n-1)}{2n(n+1)}a^{n+1}\times\frac{2n}{c(n-1)^2a^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)(n-1)}=\lim_{n\to\infty}\frac1{\left(1+\frac1n\right)\left(1-\frac1n\right)}=1$

【1-4】 문항 【1-3】의 풀이로부터 접선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle y=3kt^2x-2kt^3$이고 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle (0,-2kt^3)$이다. 접선 $\displaystyle l$이 곡선 $\displaystyle y=kx^3$과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표를 구하면$\displaystyle kx^3=3kt^2x-2kt^3$$\displaystyle x^3-3t^2x+2t^3=0$$\displaystyle (x-t)^2(x+2t)=0$이므로 $\displaystyle x=t$, $\displaystyle x=-2t$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle (-2t,-8kt^3)$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle (0,-8kt^3)$이 되어$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2t,\quad\overline{\mathrm{BC}}=6kt^3,\quad\overline{\mathrm{CA}}=\sqrt{(2t)^2+(6kt^3)^2}=2t\sqrt{1+9k^2t^4}$삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에 내접하는 원의 반지름을 $\displaystyle r$이라고 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이로부터$\displaystyle \frac12\times(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}})\times r=\frac12\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{BC}}$이므로$\displaystyle r=\frac{2t\times6kt^3}{2t+6kt^3+2t\sqrt{1+9k^2t^4}}=\frac{6kt^3}{1+3kt^2+\sqrt{1+9k^2t^4}}$

$\displaystyle L(t)=2\pi r$이므로$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{L(t)}t=\lim_{t\to\infty}\frac{12\pi kt^2}{1+3kt^2+\sqrt{1+9k^2t^4}}=\lim_{t\to\infty}\frac{12\pi k}{\frac1{t^2}+3k+\sqrt{\frac1{t^2}+9k^2}}=\frac{12\pi k}{3k+\sqrt{9k^2}}=2\pi$Correction. $\displaystyle \frac1{t^2}$은 $\displaystyle \frac1{t^4}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.