자연계열 (1차) 2번

【2-1】 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 점 $\displaystyle (-1,0)$을 지나는 직선을 $\displaystyle l_1$, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 점 $\displaystyle (-2,0)$을 지나는 직선을 $\displaystyle l_2$라고 하자. 오른쪽 그림과 같이 두 직선이 $\displaystyle x$축과 이루는 각의 크기를 각각 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라고 하면 $\displaystyle \theta(t)=\alpha-\beta$이다.(ⅰ) $\displaystyle t\ne\frac{2\pi}3$일 때직선 $\displaystyle l_1$의 기울기는 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{2\sin t}{2\cos t+1}$, 직선 $\displaystyle l_2$의 기울기는 $\displaystyle \tan\beta=\frac{2\sin t}{2\cos t+2}$이다. 제시문 [다]에 의해$\displaystyle \begin{aligned}f(t)=\tan\theta(t)=\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\frac{2\sin t}{2\cos t+1}-\frac{\sin t}{\cos t+1}}{1+\frac{2\sin t}{2\cos t+1}\times\frac{\sin t}{\cos t+1}}\\&=\frac{\sin t}{(2\cos t+1)(\cos t+1)+2\sin^2t}\\&=\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}\end{aligned}$

(ⅱ) $\displaystyle t=\frac{2\pi}3$일 때두 점 $\displaystyle (-1,0)$, $\displaystyle (-2,0)$을 각각 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$라고 하자. 오른쪽 그림과 같이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APB}$는 직각삼각형이므로$\displaystyle f\left(\frac{2\pi}3\right)=\tan\theta\left(\frac{2\pi}3\right)=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AP}}}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3$

따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의해$\displaystyle \lim_{t\to\frac{2\pi}3}f(t)=\lim_{t\to\frac{2\pi}3}\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}=\frac{\sqrt3}3=f\left(\frac{2\pi}3\right)$이므로 제시문 [나]에 의해 함수 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=\frac{2\pi}3$에서 연속이다.

【2-2】 문항 【1-1】의 풀이로부터 $\displaystyle f(t)=\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}$이다.Correction. 문항 번호 ‘【1-1】’은 ‘【2-1】’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \int_{2\alpha}^{\frac{2\pi}3}f(t)\,dt$에서 $\displaystyle 1+\cos t=s$라 놓으면 $\displaystyle \frac{ds}{dt}=-\sin t$이고, $\displaystyle t=2\alpha$일 때 $\displaystyle s=1+\cos2\alpha$, $\displaystyle t=\frac{2\pi}3$일 때 $\displaystyle s=\frac12$이므로$\displaystyle \int_{2\alpha}^{\frac{2\pi}3}f(t)\,dt=-\frac13\int_{1+\cos2\alpha}^{\frac12}\frac1t\,ds$제시문 [다]에 의해 $\displaystyle 1+\cos2\alpha=1+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2-2\sin^2\alpha=\frac74$이므로$\displaystyle \int_{2\alpha}^{\frac{2\pi}3}f(t)\,dt=-\frac13\Biggl[\ln t\Biggr]_{1+\cos2\alpha}^{\frac12}=-\frac13\left(\ln\frac12-\ln\frac74\right)=\frac13\ln\frac72$Correction. $\displaystyle s=1+\cos t$로 치환했으므로 적분식의 $\displaystyle \frac1t$와 $\displaystyle [\ln t]$는 각각 $\displaystyle \frac1s$와 $\displaystyle [\ln s]$가 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

【2-3】 문항 【1-1】의 풀이로부터 $\displaystyle f(t)=\frac{\sin t}{3(1+\cos t)}$이므로Correction. 문항 번호 ‘【1-1】’은 ‘【2-1】’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle g(x)=\frac{\sin x}{3(1+\cos x)}\times\frac{3^3(1+\cos2x)^3}{\sin^32x}$이다. 제시문 [다]에 의해 $\displaystyle \sin2x=2\sin x\cos x$이고 $\displaystyle \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1$이므로$\displaystyle g(x)=9\times\frac{\sin x}{1+\cos x}\times\frac{8\cos^6x}{8\sin^3x\cos^3x}=\frac{9\cos^3x}{(1+\cos x)\sin^2x}$제시문 [가]에 의해$\displaystyle g\left(\frac\pi2-x\right)=\frac{9\sin^3x}{(1+\sin x)\cos^2x}$이고$\displaystyle \frac{g\left(\frac\pi2-x\right)}{x^n}=\frac9{(1+\sin x)\cos^2x}\times\left(\frac{\sin x}x\right)^3\times x^{3-n}$$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac9{(1+\sin x)\cos^2x}=9$, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}x=1$이므로, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{g\left(\frac\pi2-x\right)}{x^n}$은 수렴할 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^{3-n}$이 수렴하는 것이다. ㄴCorrection. ‘은 수렴할’은 ‘이 수렴할’로 읽어야 하며, 문장 끝의 ‘ㄴ’은 불필요하게 들어갔다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(ⅰ) $\displaystyle n=1,2$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^{3-n}=0$이므로 주어진 극한은 수렴하고 그 극한값은 $\displaystyle 0$이다.(ⅱ) $\displaystyle n=3$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^{3-3}=1$이므로 주어진 극한은 수렴하고 그 극한값은 $\displaystyle 9$이다.(ⅲ) $\displaystyle n>3$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^{3-n}=\infty$이므로 주어진 극한은 발산한다.

【2-4】 $\displaystyle h(x)=f(x)-\frac x3$라 하자. 그러면 곡선 $\displaystyle y=f(x)\left(0<x<\frac{2\pi}3\right)$와 직선 $\displaystyle y=\frac13x+k$의 교점의 개수는 곡선 $\displaystyle y=h(x)\left(0<x<\frac{2\pi}3\right)$와 직선 $\displaystyle y=k$의 교점의 개수와 같다. 함수 $\displaystyle h(x)$의 도함수는$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac13\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}-\frac13=-\frac{\cos x}{3(1+\cos x)}$$\displaystyle x=\frac\pi2$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$이고, 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac{2\pi}3\right)$에서 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&0&\cdots&\frac\pi2&\cdots&\frac{2\pi}3\\\hline h^{\prime}(t)&&-&0&+&\\\hline h(t)&&\searrow&\frac{2-\pi}6&\nearrow&\end{array}$Correction. 표의 행 제목 $\displaystyle h^{\prime}(t)$, $\displaystyle h(t)$는 각각 $\displaystyle h^{\prime}(x)$, $\displaystyle h(x)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.또한, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}h(x)=0$, $\displaystyle \lim_{x\to\frac{2\pi}3}h(x)=\frac{3\sqrt3-2\pi}9$이고, $\displaystyle 3\sqrt3<3\times2=6$, $\displaystyle 2\pi>6$이므로$\displaystyle \frac{2-\pi}6<\frac{3\sqrt3-2\pi}9<0$이다.따라서 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프의 개형을 그리면 오른쪽 그림과 같다.

그러므로 실수 $\displaystyle k$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=h(x)\left(0<x<\frac{2\pi}3\right)$와 직선 $\displaystyle y=k$의 교점의 개수는 다음과 같다.(ⅰ) $\displaystyle \frac{2-\pi}6<k<\frac{3\sqrt3-2\pi}9$이면 교점의 개수는 $\displaystyle 2$개(ⅱ) $\displaystyle k=\frac{2-\pi}6$이거나 $\displaystyle \frac{3\sqrt3-2\pi}9\le k<0$이면 교점의 개수는 $\displaystyle 1$개(ⅲ) $\displaystyle k<\frac{2-\pi}6$이거나 $\displaystyle k\ge0$이면 교점의 개수는 $\displaystyle 0$개