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자연계열 (2차) 2번

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서강대 2026학년도 수시 자연계열 (2차) 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2026su/jayeon2_2

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문제

[가] 좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2) 사이의 거리는AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

[나] 세 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x), h(x)\displaystyle h(x)와 a\displaystyle a에 가까운 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여① f(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le g(x)이고 극한값 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)와 lim⁡x→ag(x)\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)가 존재하면lim⁡x→af(x)≤lim⁡x→ag(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\le\lim_{x\to a}g(x)② f(x)≤h(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le h(x)\le g(x)이고 lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L이면lim⁡x→ah(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=L

[다] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여 f(a)≥f(x)\displaystyle f(a)\ge f(x)일 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극대라고 하며 이때의 함숫값 f(a)\displaystyle f(a)를 극댓값이라고 한다. 또, 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여 f(a)≤f(x)\displaystyle f(a)\le f(x)일 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소라고 하며 이때의 함숫값 f(a)\displaystyle f(a)를 극솟값이라고 한다.

[라] 무리수 e\displaystyle e의 정의lim⁡x→0(1+x)1x=e\displaystyle \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e

【2-1】 함수 f(x)={ax+b(x≤0)xxcos⁡1x+ex(x>0)\displaystyle f(x)=\begin{cases}ax+b&(x\le0)\\x\sqrt{x}\cos\frac1x+e^x&(x>0)\end{cases}이 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능할 때, 상수 a\displaystyle a, b\displaystyle b의 값을 구하시오.

【2-2】 함수 g(x)=(1−kx)2(1−x2)\displaystyle g(x)=(1-kx)^2(1-x^2)이 x=α\displaystyle x=\alpha, x=β\displaystyle x=\beta에서 극댓값을 갖는다. αβ=−23\displaystyle \alpha\beta=-\frac23일 때, 상수 k\displaystyle k의 값을 구하시오. (단, 0<k<1\displaystyle 0<k<1, α≠β\displaystyle \alpha\ne\beta)

【2-3】 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le1일 때, 점 P(x,1−x2)\displaystyle \mathrm{P}(x,\sqrt{1-x^2})과 두 점 A(a,1−a2)\displaystyle \mathrm{A}(a,\sqrt{1-a^2}), B(a,−1−a2)\displaystyle \mathrm{B}(a,-\sqrt{1-a^2})에 대하여 PA‾×PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}\times\overline{\mathrm{PB}}를 p(x)\displaystyle p(x)라고 하자. ∫01p(x) dx=12\displaystyle \int_0^1p(x)\,dx=\frac12일 때, 상수 a\displaystyle a의 값을 구하시오. (단, 0<a<1\displaystyle 0<a<1)

【2-4】 −1≤x≤1\displaystyle -1\le x\le1일 때, 점 Q(x,1−x2)\displaystyle \mathrm{Q}(x,\sqrt{1-x^2})과 두 점 C(b,1−b2)\displaystyle \mathrm{C}(b,\sqrt{1-b^2}), D(b,−1−b2)\displaystyle \mathrm{D}(b,-\sqrt{1-b^2})에 대하여 QD‾4−QC‾4\displaystyle \overline{\mathrm{QD}}^4-\overline{\mathrm{QC}}^4을 q(x)\displaystyle q(x)라고 하자. 닫힌구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 q(x)\displaystyle q(x)의 최댓값 M\displaystyle M이 M2(1−b2)(3+1+8b2)2=15\displaystyle \frac{M^2}{(1-b^2)(3+\sqrt{1+8b^2})^2}=15를 만족시킬 때, 상수 b\displaystyle b의 값을 구하시오. (단, 0<b<1\displaystyle 0<b<1)

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서강대 2026학년도 수시 자연계열 (2차) 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2026su/jayeon2_2

· 문항 【2-1】은 함수의 연속 및 미분계수의 뜻을 알고 미분가능성과 연속성의 관계를 이해하여 주어진 함수가 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능하기 위한 상수 a\displaystyle a, b\displaystyle b를 찾을 수 있는지 평가하는 문항이다. 특히 제시문 [나]의 함수의 극한 성질과 제시문 [라]의 무리수 e\displaystyle e의 정의를 이용하여 극한값을 구할 수 있는지 평가한다.

【2-1】 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능하므로 x=0\displaystyle x=0에서 연속이다. 따라서f(0)=lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(xxcos⁡1x+ex)\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\left(x\sqrt{x}\cos\frac1x+e^x\right)x>0\displaystyle x>0에 대하여 −xx≤xxcos⁡1x≤xx\displaystyle -x\sqrt{x}\le x\sqrt{x}\cos\frac1x\le x\sqrt{x}이고 lim⁡x→0+xx=0\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\sqrt{x}=0이므로, 제시문 [나]를 이용하면 lim⁡x→0+xxcos⁡1x=0\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\sqrt{x}\cos\frac1x=0이다. 또한, lim⁡x→0+ex=1\displaystyle \lim_{x\to0^+}e^x=1이므로 lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+xcos⁡1x+lim⁡x→0+ex=1\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\frac1x+\lim_{x\to0^+}e^x=1이다. f(0)=b\displaystyle f(0)=b이므로 b=1\displaystyle b=1이다.Correction. 분리한 극한의 첫 항 xcos⁡(1/x)\displaystyle \sqrt x\cos(1/x)는 xxcos⁡(1/x)\displaystyle x\sqrt x\cos(1/x)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능하므로 lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}이다.lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0−axx=a\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{ax}{x}=alim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+xxcos⁡1x+ex−1x=lim⁡x→0+(xcos⁡1x+ex−1x)\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x\sqrt{x}\cos\frac1x+e^x-1}{x}=\lim_{x\to0^+}\left(\sqrt{x}\cos\frac1x+\frac{e^x-1}{x}\right)x>0\displaystyle x>0에 대하여 −x≤xcos⁡1x≤x\displaystyle -\sqrt{x}\le\sqrt{x}\cos\frac1x\le\sqrt{x}이고 lim⁡x→0+x=0\displaystyle \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0이므로, 제시문 [나]를 이용하면 lim⁡x→0+xcos⁡1x=0\displaystyle \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\frac1x=0이다. 또한, lim⁡x→0+ex−1x=1\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=1이므로 a=lim⁡x→0+xcos⁡1x+lim⁡x→0+ex−1x=1\displaystyle a=\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\frac1x+\lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=1이다.

· 문항 【2-2】는 제시문 [다]를 바탕으로 함수의 극댓값의 뜻을 알고 도함수를 활용하여 주어진 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 극댓값을 가지는 x\displaystyle x를 찾고, 사차방정식을 풀어서 상수 k\displaystyle k의 값을 구할 수 있는지 평가한다.

【2-2】 g′(x)=−2k(1−kx)(1−x2)−2x(1−kx)2\displaystyle g^{\prime}(x)=-2k(1-kx)(1-x^2)-2x(1-kx)^2이므로 이를 인수분해하면g′(x)=2(1−kx)(2kx2−x−k)=−4k2(x−1k)(x−1−1+8k24k)(x−1+1+8k24k)\displaystyle g^{\prime}(x)=2(1-kx)(2kx^2-x-k)=-4k^2\left(x-\frac1k\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{1+8k^2}}{4k}\right)따라서 방정식 g′(x)=0\displaystyle g^{\prime}(x)=0은 실근 x=1k\displaystyle x=\frac1k, x=1+1+8k24k\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{1+8k^2}}{4k}, x=1−1+8k24k\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}을 갖는다. 0<k<1\displaystyle 0<k<1이므로 k>0\displaystyle k>0, 1+1+8k2<4\displaystyle 1+\sqrt{1+8k^2}<4를 이용하면1−1+8k24k<1+1+8k24k<1k\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}<\frac{1+\sqrt{1+8k^2}}{4k}<\frac1k임을 알 수 있다. x=1−1+8k24k\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}, x=1k\displaystyle x=\frac1k의 좌우에서 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)의 부호가 양(+)에서 음(−)으로 바뀌므로 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=1−1+8k24k\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}, x=1k\displaystyle x=\frac1k에서 극댓값을 갖는다. αβ=−23\displaystyle \alpha\beta=-\frac23이므로1−1+8k24k2=−23\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k^2}=-\frac2331+8k2=8k2+3\displaystyle 3\sqrt{1+8k^2}=8k^2+39(1+8k2)=(8k2+3)2\displaystyle 9(1+8k^2)=(8k^2+3)^2k2(8k2−3)=0\displaystyle k^2(8k^2-3)=00<k<1\displaystyle 0<k<1이므로 k=64\displaystyle k=\frac{\sqrt6}{4}이다.

· 문항 【2-3】는 제시문 [가]의 두 점 사이의 거리를 이용하여 주어진 함수 p(x)\displaystyle p(x)를 찾고 다항함수의 정적분을 구할 수 있는지 평가한다.

【2-3】 제시문 [가]를 이용하여 PA‾2\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2와 PB‾2\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2를 구하면PA‾2=(x−a)2+(1−x2−1−a2)2=2−2ax−21−a21−x2\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2=(x-a)^2+(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2})^2=2-2ax-2\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-x^2}PB‾2=(x−a)2+(1−x2+1−a2)2=2−2ax+21−a21−x2\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2=(x-a)^2+(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2})^2=2-2ax+2\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-x^2}이므로{p(x)}2=PA‾2×PB‾2=4(1−ax−1−x21−a2)(1−ax+1−x21−a2)=4{(1−ax)2−(1−x2)(1−a2)}=4(x2−2ax+a2)=4(x−a)2\displaystyle \begin{aligned}\{p(x)\}^2&=\overline{\mathrm{PA}}^2\times\overline{\mathrm{PB}}^2=4(1-ax-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-a^2})(1-ax+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-a^2})\\&=4\{(1-ax)^2-(1-x^2)(1-a^2)\}\\&=4(x^2-2ax+a^2)\\&=4(x-a)^2\end{aligned}따라서 p(x)=2∣x−a∣\displaystyle p(x)=2|x-a|이다. 0<a<1\displaystyle 0<a<1이므로12=∫01p(x) dx=2∫0a(−x+a) dx+2∫a1(x−a) dx=2a2−2a+1\displaystyle \frac12=\int_0^1p(x)\,dx=2\int_0^a(-x+a)\,dx+2\int_a^1(x-a)\,dx=2a^2-2a+1이 되어 (2a−1)2=0\displaystyle (2a-1)^2=0이다. 그러므로 a=12\displaystyle a=\frac12이다.

· 문항 【2-4】는 문항 【2-3】의 해결 과정을 바탕으로 주어진 함수 q(x)\displaystyle q(x)를 문항 【2-2】의 함수 g(x)\displaystyle g(x)를 이용하여 나타내고, 도함수를 활용하여 닫힌구간에서 함수 q(x)\displaystyle q(x)의 최댓값을 가지는 x\displaystyle x를 찾고, 사차방정식을 풀어서 상수 b\displaystyle b의 값을 구할 수 있는지 평가한다.

【2-4】 문항 【2-3】의 풀이에서 PA‾2\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2과 PB‾2\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2를 구하는 식을 이용하면q(x)=(QD‾2+QC‾2)(QD‾2−QC‾2)=16(1−bx)1−b21−x2\displaystyle q(x)=(\overline{\mathrm{QD}}^2+\overline{\mathrm{QC}}^2)(\overline{\mathrm{QD}}^2-\overline{\mathrm{QC}}^2)=16(1-bx)\sqrt{1-b^2}\sqrt{1-x^2}이다. 1−bx≥0\displaystyle 1-bx\ge0과 문항 【2-2】에서 k=b\displaystyle k=b일 때의 함수 g(x)=(1−bx)2(1−x2)\displaystyle g(x)=(1-bx)^2(1-x^2)을 이용하면q(x)=161−b2(1−bx)2(1−x2)=161−b2g(x)\displaystyle q(x)=16\sqrt{1-b^2}\sqrt{(1-bx)^2(1-x^2)}=16\sqrt{1-b^2}\sqrt{g(x)}이다. 따라서 닫힌구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 최대일 때 함수 q(x)\displaystyle q(x)도 최대가 된다.문항 【2-2】의 풀이로부터 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=1−1+8b24b\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}, x=1b\displaystyle x=\frac1b극댓값을 갖는다. 0<b<1\displaystyle 0<b<1이므로 1b>1\displaystyle \frac1b>1이고−1=1−(1+4b)24b<1−1+8b24b\displaystyle -1=\frac{1-\sqrt{(1+4b)^2}}{4b}<\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}이다. 따라서 닫힌구간 [−1,1]\displaystyle [-1,1]에서 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=1−1+8b24b\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}에서만 극댓값을 가지고 g(−1)=g(1)=0\displaystyle g(-1)=g(1)=0이므로, 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=1−1+8b24b\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}에서 최댓값을 가지고, q(x)\displaystyle q(x)도 x=1−1+8b24b\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}에서 최댓값 M\displaystyle M을 갖는다.M2=256(1−b2)(1−1−1+8b24)2(1−(1−1+8b24b)2)=16(1−b2)(3+1+8b2)2(1−(1−1+8b24b)2)\displaystyle \begin{aligned}M^2&=256(1-b^2)\left(1-\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}4\right)^2\left(1-\left(\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}\right)^2\right)\\&=16(1-b^2)(3+\sqrt{1+8b^2})^2\left(1-\left(\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}\right)^2\right)\end{aligned}이고 M2(1−b2)(3+1+8b2)2=15\displaystyle \frac{M^2}{(1-b^2)(3+\sqrt{1+8b^2})^2}=15이므로 1−(1−1+8b24b)2=1516\displaystyle 1-\left(\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}\right)^2=\frac{15}{16}이다. 따라서1−1+8b24b=−14\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}=-\frac141+8b2=b+1\displaystyle \sqrt{1+8b^2}=b+11+8b2=(b+1)2\displaystyle 1+8b^2=(b+1)^2b(7b−2)=0\displaystyle b(7b-2)=0이므로 b=27\displaystyle b=\frac27이다.

고등학교 교육과정에서 필수적으로 다루어지는 미적분학의 기본적인 내용을 바탕으로 함수의 연속 및 미분계수의 뜻을 알고 미분가능성과 연속성의 관계를 활용할 수 있는지, 지수함수의 극한값을 구할 수 있는지, 도함수를 활용하여 주어진 함수의 극대, 극소를 판정할 수 있는지, 사차방정식을 풀 수 있는지, 두 점 사이의 거리를 활용할 수 있는지, 도함수를 활용하여 함수의 최댓값을 구할 수 있는지를 평가한다. 제시문에는 문제를 풀면서 사용할 수 있도록 관련된 교과서 내용을 서술하였으며, 제시문과 이전에 해결한 문항을 활용하여 주어진 문제를 해결할 수 있도록 구성하였다.

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