자연계열 (2차) 2번

【2-1】 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle x=0$에서 연속이다. 따라서$\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\left(x\sqrt{x}\cos\frac1x+e^x\right)$$\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle -x\sqrt{x}\le x\sqrt{x}\cos\frac1x\le x\sqrt{x}$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\sqrt{x}=0$이므로, 제시문 [나]를 이용하면 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\sqrt{x}\cos\frac1x=0$이다. 또한, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}e^x=1$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\frac1x+\lim_{x\to0^+}e^x=1$이다. $\displaystyle f(0)=b$이므로 $\displaystyle b=1$이다.Correction. 분리한 극한의 첫 항 $\displaystyle \sqrt x\cos(1/x)$는 $\displaystyle x\sqrt x\cos(1/x)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$이다.$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{ax}{x}=a$$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x\sqrt{x}\cos\frac1x+e^x-1}{x}=\lim_{x\to0^+}\left(\sqrt{x}\cos\frac1x+\frac{e^x-1}{x}\right)$$\displaystyle x>0$에 대하여 $\displaystyle -\sqrt{x}\le\sqrt{x}\cos\frac1x\le\sqrt{x}$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0$이므로, 제시문 [나]를 이용하면 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\frac1x=0$이다. 또한, $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=1$이므로 $\displaystyle a=\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\cos\frac1x+\lim_{x\to0^+}\frac{e^x-1}{x}=1$이다.

【2-2】 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2k(1-kx)(1-x^2)-2x(1-kx)^2$이므로 이를 인수분해하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=2(1-kx)(2kx^2-x-k)=-4k^2\left(x-\frac1k\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{1+8k^2}}{4k}\right)$따라서 방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$은 실근 $\displaystyle x=\frac1k$, $\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{1+8k^2}}{4k}$, $\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}$을 갖는다. $\displaystyle 0<k<1$이므로 $\displaystyle k>0$, $\displaystyle 1+\sqrt{1+8k^2}<4$를 이용하면$\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}<\frac{1+\sqrt{1+8k^2}}{4k}<\frac1k$임을 알 수 있다. $\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}$, $\displaystyle x=\frac1k$의 좌우에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)$의 부호가 양(+)에서 음(−)으로 바뀌므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k}$, $\displaystyle x=\frac1k$에서 극댓값을 갖는다. $\displaystyle \alpha\beta=-\frac23$이므로$\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+8k^2}}{4k^2}=-\frac23$$\displaystyle 3\sqrt{1+8k^2}=8k^2+3$$\displaystyle 9(1+8k^2)=(8k^2+3)^2$$\displaystyle k^2(8k^2-3)=0$$\displaystyle 0<k<1$이므로 $\displaystyle k=\frac{\sqrt6}{4}$이다.

【2-3】 제시문 [가]를 이용하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2$를 구하면$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2=(x-a)^2+(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2})^2=2-2ax-2\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-x^2}$$\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2=(x-a)^2+(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2})^2=2-2ax+2\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-x^2}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\{p(x)\}^2&=\overline{\mathrm{PA}}^2\times\overline{\mathrm{PB}}^2=4(1-ax-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-a^2})(1-ax+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-a^2})\\&=4\{(1-ax)^2-(1-x^2)(1-a^2)\}\\&=4(x^2-2ax+a^2)\\&=4(x-a)^2\end{aligned}$따라서 $\displaystyle p(x)=2|x-a|$이다. $\displaystyle 0<a<1$이므로$\displaystyle \frac12=\int_0^1p(x)\,dx=2\int_0^a(-x+a)\,dx+2\int_a^1(x-a)\,dx=2a^2-2a+1$이 되어 $\displaystyle (2a-1)^2=0$이다. 그러므로 $\displaystyle a=\frac12$이다.

【2-4】 문항 【2-3】의 풀이에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2$과 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2$를 구하는 식을 이용하면$\displaystyle q(x)=(\overline{\mathrm{QD}}^2+\overline{\mathrm{QC}}^2)(\overline{\mathrm{QD}}^2-\overline{\mathrm{QC}}^2)=16(1-bx)\sqrt{1-b^2}\sqrt{1-x^2}$이다. $\displaystyle 1-bx\ge0$과 문항 【2-2】에서 $\displaystyle k=b$일 때의 함수 $\displaystyle g(x)=(1-bx)^2(1-x^2)$을 이용하면$\displaystyle q(x)=16\sqrt{1-b^2}\sqrt{(1-bx)^2(1-x^2)}=16\sqrt{1-b^2}\sqrt{g(x)}$이다. 따라서 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 함수 $\displaystyle g(x)$가 최대일 때 함수 $\displaystyle q(x)$도 최대가 된다.문항 【2-2】의 풀이로부터 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}$, $\displaystyle x=\frac1b$극댓값을 갖는다. $\displaystyle 0<b<1$이므로 $\displaystyle \frac1b>1$이고$\displaystyle -1=\frac{1-\sqrt{(1+4b)^2}}{4b}<\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}$이다. 따라서 닫힌구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}$에서만 극댓값을 가지고 $\displaystyle g(-1)=g(1)=0$이므로, 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}$에서 최댓값을 가지고, $\displaystyle q(x)$도 $\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}$에서 최댓값 $\displaystyle M$을 갖는다.$\displaystyle \begin{aligned}M^2&=256(1-b^2)\left(1-\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}4\right)^2\left(1-\left(\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}\right)^2\right)\\&=16(1-b^2)(3+\sqrt{1+8b^2})^2\left(1-\left(\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}\right)^2\right)\end{aligned}$이고 $\displaystyle \frac{M^2}{(1-b^2)(3+\sqrt{1+8b^2})^2}=15$이므로 $\displaystyle 1-\left(\frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}\right)^2=\frac{15}{16}$이다. 따라서$\displaystyle \frac{1-\sqrt{1+8b^2}}{4b}=-\frac14$$\displaystyle \sqrt{1+8b^2}=b+1$$\displaystyle 1+8b^2=(b+1)^2$$\displaystyle b(7b-2)=0$이므로 $\displaystyle b=\frac27$이다.