약학부 2번

■ 2-1두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=mx+n$이라 하면, 두 이차방정식 $\displaystyle -x^2-2=mx+n$과 $\displaystyle x^2-2ax+a^2+a=mx+n$은 각각 중근을 갖는다. 따라서 판별식을 이용하면$\displaystyle m^2-4(n+2)=0$$\displaystyle (m+2a)^2-4(-n+a^2+a)=0$이다.

두 식을 더하여 $\displaystyle n$을 소거하면$\displaystyle m^2+(m+2a)^2-4(a^2+a+2)=2m^2+4am-4a-8=0$즉,$\displaystyle m^2+2am-2a-4=0\quad\cdots\cdots\text{①}$이다. 방정식 ①의 판별식은 $\displaystyle \frac D4=a^2+2a+4=(a+1)^2+3>0$이므로 모든 실수 $\displaystyle a$에 대하여 서로 다른 두 실근을 갖는다. $\displaystyle n$의 값은 $\displaystyle m$에 의하여 결정되므로 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선이 두 개 존재한다.

방정식 ①의 두 근이 각각 두 직선의 기울기이므로, 두 직선이 서로 수직으로 만난다면 두 근의 곱이 $\displaystyle -1$이다. 따라서 근과 계수와의 관계에 의하여$\displaystyle -2a-4=-1$이고, 따라서 $\displaystyle a=-\frac32$이다.

■ 2-2두 이차함수 $\displaystyle y=x^2$과 $\displaystyle y=ax^2-ax$의 교점의 개수는 방정식 $\displaystyle x^2=ax^2-ax$의 실근의 개수와 같다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle x((a-1)x-a)=0$이므로, 두 이차함수의 교점의 개수는 다음과 같다.$\displaystyle a=1$이면 교점의 개수는 $\displaystyle 1$$\displaystyle a\ne1$이면 교점의 개수는 $\displaystyle 2$

두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=mx+n$이라 하면, 두 이차방정식 $\displaystyle x^2=mx+n$과 $\displaystyle ax^2-ax=mx+n$은 각각 중근을 갖는다. 따라서 판별식을 이용하면$\displaystyle m^2+4n=0$$\displaystyle (m+a)^2+4an=0$이다. 두 식을 정리하면 $\displaystyle m$에 관한 방정식$\displaystyle (m+a)^2-am^2=(1-a)m^2+2am+a^2=0\quad\cdots\cdots\text{②}$을 얻는다.

(1) $\displaystyle a=1$이면 방정식 ②는 일차방정식이 되어 한 실근 $\displaystyle m=-\frac12$을 갖는다. 이때 $\displaystyle n=-\frac1{16}$이다. 따라서 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 개수는 $\displaystyle 1$이다.(2) $\displaystyle a\ne1$이면 방정식 ②는 이차방정식이 되며 판별식은$\displaystyle \frac D4=a^2-a^2(1-a)=a^3$이다. $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle \frac D4>0$이 되어 두 실근을 갖는다. $\displaystyle n$의 값은 $\displaystyle m$에 의하여 결정되므로 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 개수는 $\displaystyle 2$이다.따라서 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 개수와 두 이차함수의 그래프의 교점의 개수는 서로 같다.