약학부 3번

■ 3-1함수 $\displaystyle f(x)$의 성질에 의하여$\displaystyle \int_0^c\{f(x)+f(c-x)\}\,dx=c^2\quad\cdots\cdots\text{③}$이다.

$\displaystyle c-x=t$라 하면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이고 $\displaystyle c-0=c$, $\displaystyle c-c=0$이므로$\displaystyle \int_0^cf(c-x)\,dx=\int_0^cf(t)\,dt$이다. ③에서 정적분의 성질을 이용하면$\displaystyle \int_0^c\{f(x)+f(c-x)\}\,dx=\int_0^cf(x)\,dx+\int_0^cf(c-x)\,dx=2\int_0^cf(t)\,dt=c^2$이므로$\displaystyle \int_0^cf(x)\,dx=\frac12c^2$이다.

따라서$\displaystyle \int_0^cf(x)\,dx=2$를 만족시키는 실수 $\displaystyle c$의 값은 $\displaystyle c=\pm2$이다.

■ 3-2연속함수 $\displaystyle f(x)$는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)+f(c-x)=c$이므로$\displaystyle f(x)=c-f(c-x)\quad\cdots\cdots\text{④}$이다. 따라서 정적분$\displaystyle \int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(f(x))\,dx=\int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(c-f(c-x))\,dx\quad\cdots\cdots\text{⑤}$이다.

$\displaystyle c-x=t$라 하면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이고 $\displaystyle c-\frac c4=\frac{3c}{4}$, $\displaystyle c-\frac{3c}{4}=\frac c4$이므로$\displaystyle \int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(c-f(c-x))\,dx=\int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(c-f(t))\,dt$이다. 이때, ④에서 $\displaystyle x$에 $\displaystyle f(t)$를 대입하면 $\displaystyle f(c-f(t))=c-f(f(t))$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(c-f(t))\,dt&=\int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}\{c-f(f(t))\}\,dt\\&=\frac{c^2}{2}-\int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(f(t))\,dt\end{aligned}$

이고 ⑤에 의하여$\displaystyle \int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(f(x))\,dx=\frac{c^2}{2}-\int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(f(t))\,dt$이다. 따라서$\displaystyle \int_{\frac c4}^{\frac{3c}{4}}f(f(x))\,dx=\frac{c^2}{4}$이다.