자연계열 1번

(1) 한 개의 주사위를 세 번 던졌을 때 순서대로 나온 눈을 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$로 나타낼 때, 표본공간 $\displaystyle S$는 $\displaystyle \{(1,1,1),\ldots,(6,6,6)\}$이 된다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$를 만족해야 하므로 $\displaystyle a+b^2=c+3$가 성립해야 한다.여기서 $\displaystyle a+b^2=c+3$가 성립하는 경우는 $\displaystyle b=1,2$뿐이므로• $\displaystyle b=1$: $\displaystyle a-c=2$이므로 $\displaystyle (a,c)=(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)$• $\displaystyle b=2$: $\displaystyle a-c=-1$이므로 $\displaystyle (a,c)=(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$와 같이 모두 9가지이다. 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac9{6\cdot6\cdot6}=\frac1{24}$이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 연속인 사건을 $\displaystyle A$, 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능한 사건을 $\displaystyle B$라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하기 위해서는$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}h$을 만족해야 한다. 이때$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\{a(1+h)+b^2\}-(a+b^2)}h=a$이다. 또한, $\displaystyle f$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하면 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로, $\displaystyle f(1)=a+b^2=c+3$을 이용하면$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{\{c(1+h)^2+3\}-(c+3)}h=2c$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle a=2c$이다. 앞에서 구한 표를 이용하면 $\displaystyle x=1$에서 연속이고 미분가능인 경우는 $\displaystyle (a,b,c)=(4,1,2)$뿐이다. 따라서 $\displaystyle P(A\cap B)=\frac1{6\cdot6\cdot6}$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac19$이다.