자연계열 2번

(1) 주어진 연립부등식을 계수가 모두 정수인 연립부등식으로 다시 쓰면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{cases}9x^2+25y^2\le225&\cdots\cdots\cdots\text{①}\\x^2-8y^2\ge8&\cdots\cdots\cdots\text{②}\end{cases}$①에 의해 $\displaystyle x^2\le25$, $\displaystyle y^2\le9$, ②에 의해 $\displaystyle x^2\ge8$, $\displaystyle 8y^2\le x^2-8$을 얻는다. 이 조건들을 연립하여 얻은 정수 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle 8\le x^2\le25,\quad0\le8y^2\le17$이때 $\displaystyle 0\le8y^2\le17$을 만족하는 정수 $\displaystyle y$의 값은 0과 $\displaystyle \pm1$뿐이다.- $\displaystyle y=0$일 때, ①과 ②를 만족하는 정수 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=\pm3,\pm4,\pm5$이므로 점 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$의 개수는 6개이다.- $\displaystyle y=\pm1$일 때, ①에 의해 $\displaystyle 9x^2\le200$, ②에 의해 $\displaystyle x^2\ge16$을 얻는다. 따라서 두 조건을 모두 만족하는 정수 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=\pm4$이므로 점 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$의 개수는 $\displaystyle 2\times2=4$개이다.따라서 구하는 점 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$의 개수는 총 10개이다.

(2) 연립부등식을 만족하면서 직선 $\displaystyle x-2y=0$에 가장 가까운 점을 $\displaystyle \mathrm Q(x_0,y_0)$ ($\displaystyle x_0>0$, $\displaystyle y_0>0$)라 하자. 그러면 점 $\displaystyle \mathrm Q(x_0,y_0)$는 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac12$인 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}8-y^2=1$ 위의 점이다 (<그림 1>의 색칠한 영역 참조). 쌍곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm Q(x_0,y_0)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle \frac{x_0x}8-y_0y=1$, 즉 $\displaystyle x_0x-8y_0y-8=0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q(x_0,y_0)$는$\displaystyle \frac{x_0}{8y_0}=\frac12,\quad\frac{x_0^2}8-y_0^2=1\quad(x_0>0,y_0>0)$을 만족한다. 두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle x_0=4$, $\displaystyle y_0=1$을 얻는다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 점 중에서 직선 $\displaystyle x-2y=0$으로부터 가장 가까운 점은 $\displaystyle \mathrm Q(4,1)$이고, 이때의 거리는 $\displaystyle \frac{|4-2\cdot1|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac2{\sqrt5}$이다.