자연계열 3번

(1) 타원 $\displaystyle C_1$ 위의 한 점을 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm P$를 직선 $\displaystyle y=x-3$에 대하여 대칭이동한 점을 $\displaystyle \mathrm P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$이라고 하면$\displaystyle \frac{y^{\prime}-y}{x^{\prime}-x}=-1$, 즉 $\displaystyle x+y=x^{\prime}+y^{\prime}$이다. 또 선분 $\displaystyle \mathrm{PP}^{\prime}$의 중점이 직선 $\displaystyle y=x-3$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{y+y^{\prime}}2=\frac{x+x^{\prime}}2-3$, 즉 $\displaystyle x-y=-x^{\prime}+y^{\prime}+6$이다. 따라서 $\displaystyle x=y^{\prime}+3$, $\displaystyle y=x^{\prime}-3$이 되고, 점 $\displaystyle \mathrm P$가 타원 $\displaystyle C_1$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{(y^{\prime}+3)^2}4+(x^{\prime}-3)^2=1$이 성립한다. 그러므로 타원 $\displaystyle C_2$의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle (x-3)^2+\frac{(y+3)^2}4=1$

(2) 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 길이가 최소일 때의 곡선 $\displaystyle C_1$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm P_0$, 곡선 $\displaystyle C_2$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm Q_0$라 하자. 그러면 곡선 $\displaystyle C_1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P_0$에서의 접선과 곡선 $\displaystyle C_2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm Q_0$에서의 접선은 모두 직선 $\displaystyle y=x-3$에 평행하고, 두 점 $\displaystyle \mathrm P_0$, $\displaystyle \mathrm Q_0$는 직선 $\displaystyle y=x-3$에 대하여 대칭이다.접선의 기울기가 1이 되는 곡선 $\displaystyle C_1$ 위의 점을 구하기 위해, 방정식 $\displaystyle \frac{x^2}4+y^2=1$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac x2+2y\frac{dy}{dx}=0$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac x{4y}$이다. 두 식$\displaystyle -\frac x{4y}=1,\quad\frac{x^2}4+y^2=1$을 연립하여 풀면 두 점 $\displaystyle \left(\frac{4\sqrt5}5,-\frac{\sqrt5}5\right)$, $\displaystyle \left(-\frac{4\sqrt5}5,\frac{\sqrt5}5\right)$을 얻는다. 이 중에서 직선 $\displaystyle y=x-3$에 가장 가까운 점이 $\displaystyle \mathrm P_0\left(\frac{4\sqrt5}5,-\frac{\sqrt5}5\right)$이다. 한편, 점 $\displaystyle \mathrm Q_0$는 점 $\displaystyle \mathrm P_0$를 직선 $\displaystyle y=x-3$에 대하여 대칭이동한 점이므로, 두 점 $\displaystyle \mathrm P_0$, $\displaystyle \mathrm Q_0$ 사이의 거리는 점 $\displaystyle \mathrm P_0$와 직선 $\displaystyle y=x-3$ 사이의 거리의 2배가 된다. 따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 길이의 최솟값은$\displaystyle \overline{\mathrm P_0\mathrm Q_0}=2\frac{\left|\frac{4\sqrt5}5+\frac{\sqrt5}5-3\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3\sqrt2-\sqrt{10}$이다.