자연계열 1번

(1) 합성함수의 미분법을 이용하면$\displaystyle h^{\prime}(x)=g^{\prime}(2x-1)\cdot(2x-1)^{\prime}=2g^{\prime}(2x-1)$이므로, 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 위의 점 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt e+1}2,e\right)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle h^{\prime}\left(\frac{\sqrt e+1}2\right)=2g^{\prime}(\sqrt e)$이다. $\displaystyle e=h\left(\frac{\sqrt e+1}2\right)=g(\sqrt e)$, 즉 $\displaystyle f(e)=\sqrt e$이므로 역함수의 미분법에 의하면 $\displaystyle g^{\prime}(\sqrt e)=\frac1{f^{\prime}(e)}$이고, 구하는 접선의 기울기는$\displaystyle h^{\prime}\left(\frac{\sqrt e+1}2\right)=2g^{\prime}(\sqrt e)=\frac2{f^{\prime}(e)}$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수는$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt x}\cdot\ln x+\sqrt x\cdot\frac1x=\frac1{2\sqrt x}(\ln x+2)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(e)=\frac3{2\sqrt e}$이고, $\displaystyle h^{\prime}\left(\frac{\sqrt e+1}2\right)=\frac2{f^{\prime}(e)}=\frac{4\sqrt e}3$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 위의 점 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt e+1}2,e\right)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y-e=\frac{4\sqrt e}3\left(x-\frac{\sqrt e+1}2\right)\Rightarrow y=\frac{4\sqrt e}3x-\frac13(2\sqrt e-e)$

(2) 도형의 넓이 $\displaystyle S$를 구하기 위해서는 구간 $\displaystyle \left[\frac12,\frac{\sqrt e+1}2\right]$에서 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 부호를 확인해야 한다. 함수 $\displaystyle f(x)=\sqrt x\ln x$는 $\displaystyle x\ge1$일 때만 정의된 증가함수이므로, 역함수 $\displaystyle g(x)$의 함숫값은 1보다 크거나 같다. 따라서 $\displaystyle h(x)=g(2x-1)\ge1$이고, 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt e+1}2}|h(x)|\,dx=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt e+1}2}h(x)\,dx$이다. 함수 $\displaystyle h(x)$의 정의와 치환적분법을 이용하면 위의 정적분은 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle S=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt e+1}2}h(x)\,dx=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt e+1}2}g(2x-1)\,dx=\frac12\int_0^{\sqrt e}g(x)\,dx$함수 $\displaystyle f(x)$와 역함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx+\int_{f(a)}^{f(b)}g(x)\,dx=bf(b)-af(a)$를 만족하므로 (아래 그림 참고)

다음 관계식이 성립한다.$\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx+\int_0^{\sqrt e}g(x)\,dx=e\sqrt e$위 관계식과 부분적분법을 이용하여 $\displaystyle \int_0^{\sqrt e}g(x)\,dx$를 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\sqrt e}g(x)\,dx&=e\sqrt e-\int_1^e\sqrt x\ln x\,dx\\&=e\sqrt e-\Biggl[\frac23x^{\frac32}\ln x\Biggr]_1^e+\int_1^e\left(\frac23x^{\frac32}\right)\left(\frac1x\right)\,dx\\&=e\sqrt e-\frac23e\sqrt e+\Biggl[\frac49x^{\frac32}\Biggr]_1^e\\&=\frac19(7e\sqrt e-4)\end{aligned}$이다. 따라서 도형의 넓이 $\displaystyle S=\frac12\int_0^{\sqrt e}g(x)\,dx=\frac1{18}(7e\sqrt e-4)$이다.