자연계열 2번

두 점 $\displaystyle \mathrm O$, $\displaystyle \mathrm P$를 잇는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{u\tan u-0}{u-0}=\tan u$이므로, 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}$와 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 $\displaystyle u$이다. 따라서 부채꼴 $\displaystyle F$의 중심각의 크기는 $\displaystyle \frac\pi2-u$이고 반지름은$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{u^2+(u\tan u)^2}=u\sqrt{1+\tan^2u}=u\sec u$이다. 이로부터 부채꼴 $\displaystyle F$의 넓이 $\displaystyle A(u)$를 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle A(u)=\frac12(u\sec u)^2\left(\frac\pi2-u\right)=\frac12u^2\frac{\frac\pi2-u}{\cos^2u}=\frac12u^2\frac{\frac\pi2-u}{\sin^2\left(\frac\pi2-u\right)}$입체도형 $\displaystyle S$의 부피 $\displaystyle V(u)$는 순간변화율이 0이므로 $\displaystyle V(1)=1$로 항상 일정하다. 따라서 입체도형 $\displaystyle S$의 높이 $\displaystyle h(u)$는$\displaystyle h(u)=\frac{V(u)}{A(u)}=\frac{V(1)}{A(u)}=\frac{2\sin^2\left(\frac\pi2-u\right)}{u^2\left(\frac\pi2-u\right)}$이다. 몫의 미분법에 의해 $\displaystyle h(u)$의 도함수는 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dh}{du}&=\frac{-4\sin\left(\frac\pi2-u\right)\cos\left(\frac\pi2-u\right)\cdot u^2\left(\frac\pi2-u\right)-2\sin^2\left(\frac\pi2-u\right)\cdot(\pi u-3u^2)}{u^4\left(\frac\pi2-u\right)^2}\\&=\frac{-4\cos\left(\frac\pi2-u\right)}{u^2}\cdot\frac{\sin\left(\frac\pi2-u\right)}{\left(\frac\pi2-u\right)}-\frac{2(\pi-3u)}{u^3}\cdot\frac{\sin^2\left(\frac\pi2-u\right)}{\left(\frac\pi2-u\right)^2}\end{aligned}$함수 곱의 극한에 대한 성질과 $\displaystyle \lim_{u\to\frac\pi2^-}\frac{\sin\left(\frac\pi2-u\right)}{\left(\frac\pi2-u\right)}=1$을 이용하면, 구하고자 하는 극한값은 다음과 같다.$\displaystyle \lim_{u\to\frac\pi2^-}\frac{dh}{du}=\frac{-4\cos0}{\left(\frac\pi2\right)^2}\cdot1-\frac{2\left(\pi-3\frac\pi2\right)}{\left(\frac\pi2\right)^3}\cdot1=-\frac8{\pi^2}$