자연계열 3번

(1) 확률변수 $\displaystyle X$는 3, 4, 5의 값만을 가지므로 $\displaystyle P(X\ge4)=1-P(X=3)$이다. $\displaystyle P(X=3)$은 한 팀이 3 세트를 연속해서 이길 확률이므로,$\displaystyle P(X=3)=2\left(\frac5{10}\cdot\frac6{10}\cdot\frac7{10}\right)=\frac{21}{50}=0.42$이다. 따라서 확률 $\displaystyle P(X\ge4)$는 다음과 같다.$\displaystyle P(X\ge4)=1-P(X=3)=\frac{29}{50}=0.58$

(2) 기댓값 $\displaystyle E(X)$를 계산하기 위해서는 먼저 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 구해야 한다. $\displaystyle P(X=3)$은 문항 (1)에서 이미 얻었으므로 $\displaystyle P(X=4)$와 $\displaystyle P(X=5)$만 구하면 된다.어느 한 팀이 최종 승리할 때까지 4세트를 치르는 경우는(패, 승, 승, 승), (승, 패, 승, 승), (승, 승, 패, 승)의 3가지이다. 따라서 $\displaystyle P(X=4)$는 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}P(X=4)&=2\left(\frac5{10}\cdot\frac4{10}\cdot\frac5{10}\cdot\frac6{10}+\frac5{10}\cdot\frac4{10}\cdot\frac5{10}\cdot\frac6{10}+\frac5{10}\cdot\frac6{10}\cdot\frac3{10}\cdot\frac6{10}\right)\\&=\frac{87}{250}=0.348\end{aligned}$한편 $\displaystyle P(X=5)$는 여사건의 확률을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-\frac{21}{50}-\frac{87}{250}=\frac{29}{125}=0.232$따라서 기댓값 $\displaystyle E(X)$는 다음과 같이 계산된다.$\displaystyle E(X)=3\times\frac{21}{50}+4\times\frac{87}{250}+5\times\frac{29}{125}=\frac{953}{250}=3.812$