자연계열 1번

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAD}$가 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=1$, $\displaystyle \angle\mathrm{AOD}=\frac\theta2$이므로 원 $\displaystyle \mathrm C$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \tan\frac\theta2$이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm D^{\prime}\mathrm{AD}$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAD}$의 넓이에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}\mathrm D^{\prime}$의 넓이를 뺀 것이다. 원 $\displaystyle \mathrm C^{\prime}$의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$이라고 할 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm D^{\prime}\mathrm{AD}$의 넓이 $\displaystyle S(\theta)$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAD}$의 넓이 $\displaystyle =\frac12\times\overline{\mathrm{OA}}\times\tan\frac\theta2=\frac12\tan\frac\theta2$삼각형 $\displaystyle \mathrm{OA}\mathrm D^{\prime}$의 넓이 $\displaystyle =\frac12\times\overline{\mathrm{OA}}\times r=\frac12r$$\displaystyle S(\theta)=\frac12\left(\tan\frac\theta2-r\right)\qquad\cdots\cdots\ \text{㉠}$원 $\displaystyle \mathrm C^{\prime}$과 반직선 $\displaystyle \mathrm{OX}$가 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}$이라고 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAD}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm O\mathrm A^{\prime}\mathrm D^{\prime}$는 닮은꼴이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm A^{\prime}\mathrm D^{\prime}}=\overline{\mathrm{OD}}:\overline{\mathrm O\mathrm D^{\prime}},\quad\overline{\mathrm O\mathrm D^{\prime}}=\overline{\mathrm{OD}}-\text{두 원의 반지름 합}$$\displaystyle \tan\frac\theta2:r=\sec\frac\theta2:\sec\frac\theta2-\tan\frac\theta2-r$이 성립한다. 따라서$\displaystyle r=\frac{\tan\frac\theta2\sec\frac\theta2-\tan^2\frac\theta2}{\sec\frac\theta2+\tan\frac\theta2}\qquad\cdots\cdots\ \text{㉡}$이다.식 ㉡을 식 ㉠에 대입하면,$\displaystyle \begin{aligned}S(\theta)&=\frac12\left(\tan\frac\theta2-r\right)=\frac12\tan\frac\theta2\left(1-\frac{\sec\frac\theta2-\tan\frac\theta2}{\sec\frac\theta2+\tan\frac\theta2}\right)\\&=\frac12\tan\frac\theta2\cdot\frac{2\tan\frac\theta2}{\sec\frac\theta2+\tan\frac\theta2}\\&=\frac{\tan^2\frac\theta2}{\sec\frac\theta2+\tan\frac\theta2}\end{aligned}$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\theta\to0+}\frac{S(\theta)}{\theta^2}&=\lim_{\theta\to0+}\frac{\tan^2\frac\theta2}{\theta^2\left(\sec\frac\theta2+\tan\frac\theta2\right)}\\&=\lim_{\theta\to0+}\frac{\tan\frac\theta2}{\theta}\cdot\frac{\tan\frac\theta2}{\theta}\cdot\frac1{\sec\frac\theta2+\tan\frac\theta2}\end{aligned}$이고$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{\tan\frac\theta2}{\theta}=\frac12,\quad\lim_{\theta\to0+}\sec\frac\theta2=1,\quad\lim_{\theta\to0+}\tan\frac\theta2=0$에 의하여$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{S(\theta)}{\theta^2}=\frac14$이다.