자연계열 2번

(1) $\displaystyle 0<x<2$ 범위에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x$축과 한 점 $\displaystyle (1,0)$에서 만나므로 $\displaystyle x\ge2$ 범위에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x$축과 오직 한 점에서만 만나야 한다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=5$에서 $\displaystyle x$축과 접하면서 극솟값을 가져야 한다. 이를 고려하여 함수 $\displaystyle f(x)$를 다시 표현하면 아래와 같다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2-1&(0<x<2)\\\alpha(x-\beta)(x-5)^2&(x\ge2)\end{cases}$주어진 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,2)$와 $\displaystyle (2,\infty)$에서 미분가능하다. 그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하면 된다.$\displaystyle f^{\prime}(2)=\alpha(2-5)(3\times2-2\beta-5)=4\quad\cdots\cdots\ \text{㉠}$한편 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하면 $\displaystyle x=2$에서 연속이어야 하므로,$\displaystyle f(2)=\alpha(2-\beta)(2-5)^2=3\quad\cdots\cdots\ \text{㉡}$이다.식 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 상수는 $\displaystyle \alpha=\frac23$, $\displaystyle \beta=\frac32$이다.따라서 $\displaystyle x\ge2$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\frac23\left(x-\frac32\right)(x-5)^2\\&=\frac23x^3-\frac{23}3x^2+\frac{80}3x-25\end{aligned}$따라서 $\displaystyle a=\frac23$, $\displaystyle b=-\frac{23}3$, $\displaystyle c=\frac{80}3$, $\displaystyle d=-25$이다.

(2) $\displaystyle x\ge2$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac23(x-5)^2+\frac43\left(x-\frac32\right)(x-5)=\frac23(x-5)(3x-8)$이므로 $\displaystyle x=\frac83$에서 극댓값, $\displaystyle x=5$에서 극솟값을 갖는다. 주어진 구간 $\displaystyle \left(0,\frac83\right)$은 0에서부터 3차함수의 극댓값까지이다.따라서 점 $\displaystyle (x,f(x))$에서의 접선과 수직이면서 점 $\displaystyle (x,f(x))$를 지나는 직선의 $\displaystyle x$절편의 최솟값은 이차함수 구간인 $\displaystyle 0<x<2$ 사이에 존재한다.$\displaystyle 0<x<2$ 구간에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(t)$이고$\displaystyle f^{\prime}(t)=2t\quad(0<t<2)$곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선과 수직이면서 점 $\displaystyle (t,f(t))$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y=-\frac1{2t}(x-t)+t^2-1\quad(0<t<2)$위 직선의 $\displaystyle x$절편을 $\displaystyle g(t)$라고 하면 $\displaystyle g(t)$는 각각 다음과 같다.$\displaystyle g(t)=2t^3-t\quad(0<t<2)$$\displaystyle g^{\prime}(t)=6t^2-1$의 부호를 조사하여 함수 $\displaystyle g(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 $\displaystyle g\left(\frac1{\sqrt6}\right)=-\frac2{3\sqrt6}$이다.