자연계열 3번

(1) 점 $\displaystyle P(a,b)$를 지나고, 함수 $\displaystyle y=x^2$의 그래프에 접하는 직선이 그래프와 접하는 점을 $\displaystyle Q(x,x^2)$이라고 하자. 이때, 직선의 기울기는 두 가지 방법으로 구할 수 있다.i) $\displaystyle P,Q$를 지나는 직선의 기울기 $\displaystyle =\frac{x^2-b}{x-a}$ii) 점 $\displaystyle Q$에서의 접선의 기울기 $\displaystyle =2x$위의 두 값은 같아야 하므로 다음 등식이 성립한다.$\displaystyle \frac{x^2-b}{x-a}=2x\ \Rightarrow\ x^2-2ax+b=0$위의 이차방정식의 두 해를 $\displaystyle \alpha,\beta$라고 하면, 두 접선의 기울기는 $\displaystyle 2\alpha,2\beta$이다. 두 접선과 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $\displaystyle \theta_1,\theta_2$라고 하면, $\displaystyle |\theta_1-\theta_2|=\frac\pi3$이다. 이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \sqrt3=\tan\frac\pi3=\tan|\theta_1-\theta_2|=\left|\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\right|=\left|\frac{2\alpha-2\beta}{1+4\alpha\beta}\right|$이다. 양변을 제곱하여 이차방정식의 근과 계수의 관계를 적용하면$\displaystyle 4((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta)=3(1+4\alpha\beta)^2,\quad4(4a^2-4b)=3(1+4b)^2$이고, $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 관계는 다음 식으로 정리된다.$\displaystyle 16a^2-48b^2-40b-3=0$

(2) 점 $\displaystyle P(a,b)$를 지나고, 함수 $\displaystyle y=x^2$의 그래프에 접하는 직선이 그래프와 접하는 점을 구하는 이차방정식 $\displaystyle x^2-2ax+b=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha,\beta$($\displaystyle \alpha<\beta$)라고 하면 두 접선의 방정식은 다음과 같다.$\displaystyle y=2\alpha(x-a)+b,\quad y=2\beta(x-a)+b$따라서 두 접선과 곡선 $\displaystyle y=x^2$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_\alpha^a x^2-2\alpha x+2a\alpha-b\,dx+\int_a^\beta x^2-2\beta x+2a\beta-b\,dx\\&=\Biggl[\frac13x^3-\alpha x^2+(2a\alpha-b)x\Biggr]_\alpha^a+\Biggl[\frac13x^3-\beta x^2+(2a\beta-b)x\Biggr]_a^\beta\\&=\frac13(\beta^3-\alpha^3)+(\alpha^3-\beta^3)+2a(\beta^2-\alpha^2)+b(\alpha-\beta)-a^2(\alpha-\beta)+2a^2(\alpha-\beta)\\&=\frac23(\alpha^3-\beta^3)-2a(\alpha^2-\beta^2)+(a^2+b)(\alpha-\beta)\end{aligned}$이고$\displaystyle \alpha+\beta=2a,\alpha\beta=b$로부터$\displaystyle \begin{aligned}\alpha-\beta&=-\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=-2\sqrt{a^2-b},\\\alpha^2-\beta^2&=(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)=-4a\sqrt{a^2-b},\\\alpha^3-\beta^3&=(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=-2\sqrt{a^2-b}(4a^2-b)\end{aligned}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S&=\sqrt{a^2-b}\left\{\frac43(b-4a^2)+8a^2-2(a^2+b)\right\}\\&=\frac23(a^2-b)^{\frac32}\end{aligned}$이다.문항 (1)에서 구한 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 관계 $\displaystyle 16a^2-48b^2-40b-3=0$로부터$\displaystyle a^2=\frac{48b^2+40b+3}{16}$을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac23\left(\frac{48b^2+40b+3-16b}{16}\right)^{\frac32}\\&=-\frac{\sqrt3(4b+1)^3}{32}\end{aligned}$이다.