자연계열 3번

함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수가 존재하기 위해서는 $\displaystyle f(x)$가 증가함수이거나 감소함수여야 하는데, $\displaystyle \lim_{x\to+0}f(x)=\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이어야 한다.$\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f(x)$가 감소함수이기 위해서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-4x^2+bx-1}x\le0$이어야 하고, $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle -4x^2+bx-1=-4\left(x-\frac b8\right)^2+\frac{b^2}{16}-1\le0$이어야 한다.ㄱ) $\displaystyle b\le0$인 경우: $\displaystyle -4x^2+bx-1$이 $\displaystyle x>0$에서 감소하고 $\displaystyle \lim_{x\to+0}(-4x^2+bx-1)=-1$이므로 이 영역에서 $\displaystyle -4x^2+bx-1\le0$이고 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.ㄴ) $\displaystyle b>0$인 경우: $\displaystyle -4x^2+bx-1$이 $\displaystyle x=\frac b8$에서 최대값 $\displaystyle \frac{b^2}{16}-1$을 가지므로, 모든 양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle -4x^2+bx-1\le0$이려면 $\displaystyle \frac{b^2}{16}-1\le0$, 즉 $\displaystyle 0<b\le4$이어야 한다.ㄱ)과 ㄴ)에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수가 존재할 조건은 $\displaystyle b\le4$이다.그런데$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2f(x)\,dx&=\int_1^2(-2x^2+bx+2\ln2-\ln x)\,dx=\Biggl[-\frac{2x^3}3+\frac{bx^2}2+(2\ln2)x-x\ln x+x\Biggr]_1^2\\&=-\frac{16}3+\frac23+b\left(2-\frac12\right)+2\ln2-2\ln2+1=\frac{3b}2-\frac{11}3\end{aligned}$이므로, 이 적분값은 $\displaystyle b=4$일 때 최대값 $\displaystyle \frac73$을 갖는다.