자연계열 4번

감독이 생각한 경우의 수는 $\displaystyle A={}_{30}\mathrm{C}_{11}\times{}_{11}\mathrm{C}_2=\frac{30!}{11!19!}\times\frac{11!}{2!9!}=\frac{30!}{2!9!19!}$이다.방법1의 경우의 수는 $\displaystyle P={}_{30}\mathrm{C}_2\times{}_{28}\mathrm{C}_9=\frac{30!}{2!28!}\times\frac{28!}{9!19!}=\frac{30!}{2!9!19!}$ 이므로 방법1과 감독의 경우의 수와 같다.방법2의 경우의 수는 $\displaystyle Q={}_{30}\mathrm{C}_1\times{}_{29}\mathrm{C}_{10}\times{}_{10}\mathrm{C}_1=\frac{30!}{1!29!}\times\frac{29!}{10!19!}\times\frac{10!}{1!9!}=\frac{30!}{9!19!}$이므로 방법 2와 감독의 경우의 수는 다르고, $\displaystyle A\times\frac{2!}{1!1!}=A\times{}_2\mathrm{C}_1=Q$ 이다. 이는 방법 2로 선수를 선발하는 경우, 처음 지명된 리더와 마지막에 지명된 리더의 순서를 구분하므로 같은 구성을 두 번씩 세기 때문이며, $\displaystyle {}_2\mathrm{C}_1$은 두 리더 중 하나가 첫 번째로 뽑히는 경우의 수이다.방법3의 경우의 수는 $\displaystyle R={}_{30}\mathrm{C}_5\times{}_5\mathrm{C}_2\times{}_{25}\mathrm{C}_6=\frac{30!}{5!25!}\times\frac{5!}{2!3!}\times\frac{25!}{6!19!}=\frac{30!}{2!3!6!19!}$이므로 방법 3과 감독의 경우의 수는 다르고, $\displaystyle A\times\frac{9!}{3!6!}=A\times{}_9\mathrm{C}_3=R$이다. 이는 리더가 아닌 선수 9명이 처음에 뽑힌 집단과 나중에 뽑힌 집단으로 구분되어 같은 구성을 $\displaystyle {}_9\mathrm{C}_3=84$번 중복해서 세기 때문이며, $\displaystyle {}_9\mathrm{C}_3$은 리더가 아닌 9명의 선수들 중 3명이 첫 번째로 뽑히는 경우의 수이다.