숭실대 2024학년도 모의논술 자연계열 4번 해설

문제 4 아래 논제에 답하시오. (25점)

숭실대학교 축구부 감독은 30명의 스포츠학부 학생 중에서 11명의 선수를 선발하고, 이 중에서 역할이 동등한 두 명의 리더를 지명하기로 하였다. 이렇게 팀을 구성하는 경우의 수를 감독은 다음과 같이 생각하였다.감독: 30명의 학생 중에서 11명의 선수를 먼저 선발하고 이 중에서 리더 2명을 지명한다.이때 경우의 수는 $\displaystyle A={}_{30}\mathrm{C}_{11}\times{}_{11}\mathrm{C}_2$ 이다.

반면 학생들은 팀을 구성하는 다른 방법을 제시하고, 그 때의 경우의 수를 올바르게 계산하였다.

(1) 방법1: 감독이 리더 2명을 먼저 지명하고, 두 리더가 상의하여 나머지 9명의 선수를 선발한다.이때 경우의 수는 $\displaystyle P={}_{30}\mathrm{C}_2\times{}_{28}\mathrm{C}_9$ 이다.(2) 방법2: 감독이 리더 1명을 먼저 지명하고, 이 리더가 나머지 10명의 선수를 선발한 뒤 이 중에서 리더 1명을 마저 지명한다.이때 경우의 수는 $\displaystyle Q={}_{30}\mathrm{C}_1\times{}_{29}\mathrm{C}_{10}\times{}_{10}\mathrm{C}_1$ 이다.(3) 방법3: 감독이 선수 5명을 먼저 선발하고 선발된 선수 중에서 리더 2명을 지명한 뒤, 두 리더가 상의하여 나머지 6명의 선수를 선발한다.이때 경우의 수는 $\displaystyle R={}_{30}\mathrm{C}_5\times{}_{5}\mathrm{C}_2\times{}_{25}\mathrm{C}_6$ 이다.

이때 아래 식에서 괄호에 들어가는 값이 1이 아니라면 (즉, 감독의 경우의 수와 각 방법의 경우의 수가 다르다면) 그 이유를 논하고, 괄호에 들어가야 할 값을 $\displaystyle {}_n\mathrm{C}_r$ 혹은 $\displaystyle {}_n\mathrm{P}_r$ 의 형태로 나타내시오. $\displaystyle \begin{aligned}A\times(\qquad)&=P\\A\times(\qquad)&=Q\\A\times(\qquad)&=R\end{aligned}$

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+25점 · 각 경우의 수를 조합으로 나타내고 각 계산의 차이가 어떠한 이유로 발생하는지 구체적으로 구할 수 있다.

감독이 생각한 경우의 수는 $\displaystyle A={}_{30}\mathrm{C}_{11}\times{}_{11}\mathrm{C}_2=\frac{30!}{11!19!}\times\frac{11!}{2!9!}=\frac{30!}{2!9!19!}$ 이다.방법1의 경우의 수는 $\displaystyle P={}_{30}\mathrm{C}_2\times{}_{28}\mathrm{C}_9=\frac{30!}{2!28!}\times\frac{28!}{9!19!}=\frac{30!}{2!9!19!}$ 이므로 방법1과 감독의 경우의 수와 같다.방법2의 경우의 수는 $\displaystyle Q={}_{30}\mathrm{C}_1\times{}_{29}\mathrm{C}_{10}\times{}_{10}\mathrm{C}_1=\frac{30!}{1!29!}\times\frac{29!}{10!19!}\times\frac{10!}{1!9!}=\frac{30!}{9!19!}$ 이므로 방법 2와 감독의 경우의 수는 다르고, $\displaystyle A\times\frac{2!}{1!1!}=A\times{}_2\mathrm{C}_1=Q$ 이다. 이는 방법 2로 선수를 선발하는 경우, 처음 지명된 리더와 마지막에 지명된 리더의 순서를 구분하므로 같은 구성을 두 번씩 세기 때문이며, $\displaystyle {}_2\mathrm{C}_1$ 은 두 리더 중 하나가 첫 번째로 뽑히는 경우의 수이다.방법3의 경우의 수는 $\displaystyle R={}_{30}\mathrm{C}_5\times{}_5\mathrm{C}_2\times{}_{25}\mathrm{C}_6=\frac{30!}{5!25!}\times\frac{5!}{2!3!}\times\frac{25!}{6!19!}=\frac{30!}{2!3!6!19!}$ 이므로 방법 3과 감독의 경우의 수는 다르고, $\displaystyle A\times\frac{9!}{3!6!}=A\times{}_9\mathrm{C}_3=R$ 이다. 이는 리더가 아닌 선수 9명이 처음에 뽑힌 집단과 나중에 뽑힌 집단으로 구분되어 같은 구성을 $\displaystyle {}_9\mathrm{C}_3=84$ 번 중복해서 세기 때문이며, $\displaystyle {}_9\mathrm{C}_3$ 은 리더가 아닌 9명의 선수들 중 3명이 첫 번째로 뽑히는 경우의 수이다.

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자연계열 4번

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