자연계열 2번

(2-1) 함수 $\displaystyle g(x)=\cos bx$는 주기가 $\displaystyle 2\pi/b$이다. 그러므로 방정식 $\displaystyle g(x)=0$은 $\displaystyle [0,2\pi/b]$에서 두 개의 해 $\displaystyle 2\pi/b\cdot\frac14$, $\displaystyle 2\pi/b\cdot\frac34$를 갖고 $\displaystyle [0,2n\pi/b]$에서 $\displaystyle 2n$개의 해를 갖는다. 이 방정식의 $\displaystyle 2n-1$, $\displaystyle 2n$번째 해는 각각 $\displaystyle 2\pi/b\cdot\left(n-1+\frac14\right)$, $\displaystyle 2\pi/b\cdot\left(n-1+\frac34\right)$이다.

$\displaystyle x>1$일 때 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 직선이므로, $\displaystyle c$와 $\displaystyle d$가 모두 $\displaystyle 0$이 아닐 때 $\displaystyle x$축과 만나는 경우, 하나의 교점만 존재한다. 따라서 $\displaystyle f(x)=0$의 양의 실수해가 11개가 되기 위해서는 $\displaystyle x>1$에서 1개의 해를 갖고, $\displaystyle x\le1$에서 10개의 해를 갖거나 $\displaystyle x>1$에서는 해가 없고 $\displaystyle x\le1$에서 11개의 해를 가져야 한다.(a) $\displaystyle x>1$에서 1개의 해를 갖는 경우:하나의 해가 $\displaystyle (1,\infty)$에 있다면, $\displaystyle \cos bx=0$의 10번째 해 $\displaystyle 2\pi/b(4+3/4)=19\pi/2b$는 $\displaystyle [0,1]$에 있고, 11번째 해 $\displaystyle 2\pi/b(5+1/4)=21\pi/2b$가 $\displaystyle (1,\infty)$에 있어야 한다. 따라서, $\displaystyle \frac{19\pi}2\le b<\frac{21\pi}2$가 성립한다.이때, $\displaystyle f(x)=0$는 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하므로, $\displaystyle c=-b\sin b$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [1,\infty)$에서 $\displaystyle (1,\cos b)$를 지나고, 기울기가 $\displaystyle -b\sin b$인 직선이다. 아래의 표를 확인하면,

i) $\displaystyle b=\frac{19\pi}2$이면 $\displaystyle y=cx+d$는 $\displaystyle (1,0)$을 지나고 기울기가 0이 아닌 직선이므로, $\displaystyle \cos bx=0$의 10번째 해 $\displaystyle (1,0)$에서 $\displaystyle x$축과 만난 후 더 이상 $\displaystyle x$축과 만나지 않는다.ii) $\displaystyle \frac{19\pi}2<b\le10\pi$이면 $\displaystyle y=cx+d$는 1사분면의 점을 지나고 기울기가 음수가 아닌 직선이므로, $\displaystyle x$축과 $\displaystyle [1,\infty)$에서 만나지 않는다.iii) $\displaystyle 10\pi<b<\frac{21\pi}2$이면 $\displaystyle y=cx+d$는 1사분면의 점을 지나고 기울기가 음수인 직선이므로, $\displaystyle x$축과 $\displaystyle [1,\infty)$에서 만난다.따라서 하나의 해가 $\displaystyle (1,\infty)$에 있다면 $\displaystyle 10\pi<b<\frac{21\pi}2$이다.(b) 11개의 해가 모두 $\displaystyle [0,1]$에 있다면, $\displaystyle \cos bx=0$의 11번째 해 $\displaystyle 2\pi/b(5+1/4)=21\pi/2b$가 $\displaystyle [0,1]$에 있어야 하고, 12번째 해 $\displaystyle 2\pi/b(5+3/4)=23\pi/2b$는 $\displaystyle (1,\infty)$에 있어야 한다.따라서, $\displaystyle 21\pi\le2b<23\pi$가 성립한다.이때, $\displaystyle f(x)=0$는 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하므로, $\displaystyle c=-b\sin b$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [1,\infty)$에서 $\displaystyle (1,\cos b)$를 지나고, 기울기가 $\displaystyle -b\sin b$인 직선이다. 아래의 표를 확인하면,

i) $\displaystyle b=\frac{21\pi}2$이면 $\displaystyle y=cx+d$는 $\displaystyle (1,0)$을 지나고 기울기가 0이 아닌 직선이므로, $\displaystyle \cos bx=0$의 11번째 해 $\displaystyle (1,0)$에서 $\displaystyle x$축과 만난 후 더 이상 $\displaystyle x$축과 만나지 않는다.ii) $\displaystyle \frac{21\pi}2<b\le11\pi$이면 $\displaystyle y=cx+d$는 4사분면의 점을 지나고 기울기가 양수가 아닌 직선이므로, $\displaystyle x$축과 $\displaystyle [1,\infty)$에서 만나지 않는다.iii) $\displaystyle 11\pi<b<\frac{23\pi}2$이면 $\displaystyle y=cx+d$는 4사분면의 점을 지나고 기울기가 양수인 직선이므로, $\displaystyle x$축과 $\displaystyle [1,\infty)$에서 만난다.따라서, $\displaystyle \frac{21\pi}2\le b\le11\pi$여야 한다.위의 두 결과를 종합하면, $\displaystyle 10\pi<b\le11\pi$이다.

(2-2) $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로, $\displaystyle c+d=\cos b$이다.$\displaystyle c=-b\sin b$이므로, $\displaystyle d=-c+\cos b=b\sin b+\cos b$이다.$\displaystyle 10\pi<t\le11\pi$일 때 $\displaystyle g(t)=t\sin t+\cos t$의 도함수는$\displaystyle g^{\prime}(t)=\sin t+t\cos t-\sin t=t\cos t$ 이다.

따라서, $\displaystyle t=\frac{21\pi}2$일 때 $\displaystyle d$의 값이 최대이고, 그 최댓값은 $\displaystyle \frac{21\pi}2$이다.