자연계열 1번

곡선 $\displaystyle C_1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a$라고 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{A}(a,a^2+a+1)$이고, $\displaystyle y$축에 평행한 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle \ell:x=a$이다. 그리고 직선 $\displaystyle \ell$과 곡선 $\displaystyle C_2$의 교점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{B}(a,-a^2+4a-3)$이다.한편, 두 곡선을 정의하는 이차함수는 각각 다음과 같이 완전제곱식으로 표현할 수 있다.$\displaystyle x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34$, $\displaystyle -x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$이때, $\displaystyle x=a$와 함숫값이 같은 $\displaystyle x$의 값은 각각 괄호 안의 값이 부호만 다른 경우이다.$\displaystyle x_1+\frac12=-\left(a+\frac12\right)$, $\displaystyle x_2-2=-(a-2)$따라서, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -a-1$, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -a+4$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 $\displaystyle y$좌표는 각각 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 $\displaystyle y$좌표와 같다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 아래와 같다.$\displaystyle \mathrm{P}:(-a-1,a^2+a+1)$, $\displaystyle \mathrm{Q}:(-a+4,-a^2+4a-3)$그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=5^2+(2a^2-3a+4)^2$이다. 이 값이 최소가 되기 위해서는 절댓값 $\displaystyle |2a^2-3a+4|$의 값이 최소가 되어야 한다. 함수 $\displaystyle g(a)=2a^2-3a+4$를 정의하면, 이 함수를 정의하는 이차방정식의 판별식이 $\displaystyle (-3)^2-4\cdot2\cdot4<0$이므로 $\displaystyle g(a)$의 값은 항상 양수이다. 따라서 $\displaystyle |g(a)|=g(a)$이고, $\displaystyle g(a)$는 중심축인 $\displaystyle a=\frac34$에서 최솟값을 가지며, 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$ 또한 최솟값을 갖는다.