자연계열 2번

함수 $\displaystyle f(x)=e^{x^2}$을 정의하자. 그러면 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수와 이계도함수는 각각 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2xe^{x^2}$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(4x^2+2)e^{x^2}$이다. 임의의 자연수 $\displaystyle n$과 각각의 $\displaystyle k=0,1,\cdots,n-1$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac kn,\frac{k+1}n\right]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle \left(\frac kn,\frac{k+1}n\right)$에서 미분가능하므로 평균값정리에 의해$\displaystyle \frac{e^{\left(\frac{k+1}n\right)^2}-e^{\left(\frac kn\right)^2}}{\frac{k+1}n-\frac kn}=2c_ke^{c_k^2}$이 되도록 하는 실수 $\displaystyle c_k$가 열린구간 $\displaystyle \left(\frac kn,\frac{k+1}n\right)$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 위의 식을 정리하면$\displaystyle e^{\left(\frac{k+1}n\right)^2}-e^{\left(\frac kn\right)^2}=\frac1n2c_ke^{c_k^2}$을 얻는다.한편, $\displaystyle x>0$에서 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이므로, 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가함수이다. 그러면 $\displaystyle 0<c_k<1$라는 사실로부터 $\displaystyle 0=f^{\prime}(0)<f^{\prime}(c_k)<f^{\prime}(1)<2e$를 얻는다. 즉, $\displaystyle 0<2c_ke^{c_k^2}<2e$가 성립한다. 이를 이용하면 주어진 극한의 급수 부분에 대하여Correction. $\displaystyle f^{\prime}(1)=2e$이므로 마지막 부등호 $\displaystyle <$는 등호 $\displaystyle =$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 0<\sum_{k=0}^{n-1}\left\{e^{\left(\frac{k+1}n\right)^2}-e^{\left(\frac kn\right)^2}\right\}^2=\sum_{k=0}^{n-1}\left\{\frac1n2c_ke^{c_k^2}\right\}^2<\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}4e^2<\frac1n4e^2$Correction. 상수 $\displaystyle 4e^2$을 $\displaystyle n$개 더하므로 마지막 부등호 $\displaystyle <$는 등호 $\displaystyle =$의 오기이다.$\displaystyle \frac1{n^2}\sum_{k=1}^n4e^2=\frac{4e^2}{n}$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이 성립한다. 따라서 위 부등식의 양변에 극한을 취하면$\displaystyle 0\le\lim_{n\to\infty}\sqrt n\sum_{k=0}^{n-1}\left\{e^{\left(\frac{k+1}n\right)^2}-e^{\left(\frac kn\right)^2}\right\}^2\le\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}4e^2$을 얻는다. 이제 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}4e^2=0$이므로 구하고자 하는 극한값은 0보다 작거나 같다. 동시에 구하고자 하는 극한값은 0보다 크거나 같아야만 한다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt n\sum_{k=0}^{n-1}\left\{e^{\left(\frac{k+1}n\right)^2}-e^{\left(\frac kn\right)^2}\right\}^2=0$이다.