자연계열 3번

(1) $\displaystyle f(x)=(x-2)(x-15)$이므로 $\displaystyle 2<x<15$일 때 $\displaystyle f(x)<0$이고 $\displaystyle x\le2$ 또는 $\displaystyle x\ge15$일 때 $\displaystyle f(x)\ge0$이다.

따라서, 다음 두 가지의 경우를 생각할 수 있다.(i) $\displaystyle 2<a_1<15$인 경우, $\displaystyle f(a_1)<0$이므로 $\displaystyle a_2=a_1+1$이고, 따라서 $\displaystyle 3<a_2<16$이다.(ii) $\displaystyle a_1\le2$ 또는 $\displaystyle a_1\ge15$인 경우, $\displaystyle f(a_1)\ge0$이어서 $\displaystyle a_2=2a_1$이고, 따라서 $\displaystyle a_2\le4$ 또는 $\displaystyle a_2\ge30$이다.(i)과 (ii)를 종합하면, $\displaystyle a_2$가 될 수 있는 값의 범위는 $\displaystyle a_2<16$ 또는 $\displaystyle a_2\ge30$이다.

(2) 다음과 같이 $\displaystyle a_3$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle a_1$의 범위를 순차적으로 계산한다.(가) $\displaystyle a_3$의 범위(i) $\displaystyle f(a_3)<0$인 경우, $\displaystyle a_4=a_3+1$이 성립한다. 따라서, 조건 $\displaystyle 32\le a_4$로부터 부등식 $\displaystyle 31\le a_3$를 얻는다. 하지만 이 경우 $\displaystyle f(a_3)\ge0$일 수 밖에 없어 모순이 된다.(ii) $\displaystyle f(a_3)\ge0$인 경우, $\displaystyle a_4=2a_3$이 성립한다. 따라서, 조건 $\displaystyle 32\le a_4$, $\displaystyle a_3<32$로부터 부등식 $\displaystyle 16\le a_3<32$를 얻는다.

(나) $\displaystyle a_2$의 범위(i) $\displaystyle f(a_2)<0$인 경우, $\displaystyle a_3=a_2+1$이 성립한다. 따라서, (가)의 결과 $\displaystyle 16\le a_3<32$로부터 부등식 $\displaystyle 15\le a_2<31$을 얻는다. 하지만 이 경우 $\displaystyle f(a_3)\ge0$이므로 모순이 된다.Correction. (나)(i)에서는 $\displaystyle 15\le a_2<31$로부터 $\displaystyle f(a_2)\ge0$을 얻으므로, $\displaystyle f(a_3)$는 $\displaystyle f(a_2)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(ii) $\displaystyle f(a_2)\ge0$인 경우, $\displaystyle a_3=2a_2$이 성립한다. 따라서, (가)의 결과 $\displaystyle 16\le a_3<32$로부터 부등식 $\displaystyle 8\le a_2<16$을 얻는다. 하지만 $\displaystyle f(a_2)\ge0$가 성립하기 위해서는 $\displaystyle a_2\le2$ 또는 $\displaystyle a_2\ge15$여야 하므로, 이 조건으로부터 $\displaystyle 15\le a_2<16$를 얻는다.

(다) $\displaystyle a_1$의 범위(i) $\displaystyle f(a_1)<0$인 경우, $\displaystyle a_2=a_1+1$이 성립한다. 따라서, (나)의 결과로부터 부등식 $\displaystyle 14\le a_3<15$를 얻는다.Correction. 첫째항의 범위를 구하는 단계이므로 $\displaystyle 14\le a_3<15$는 $\displaystyle 14\le a_1<15$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(ii) $\displaystyle f(a_1)\ge0$인 경우, $\displaystyle a_2=2a_1$이 성립한다. 따라서, (나)의 결과 $\displaystyle 15\le a_2<16$로부터 부등식 $\displaystyle \frac{15}2\le a_1<8$을 얻는다. 하지만 이 경우 $\displaystyle f(a_1)<0$이므로 모순이다.

따라서 해당 조건을 만족시키는 $\displaystyle a_1$의 범위는 $\displaystyle 14\le a_1<15$이고 최솟값은 14이다.