자연계열 4번

$\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=x$의 조건으로부터 $\displaystyle f^{-1}=f\circ f$이므로, $\displaystyle f$는 일대일 대응이어야 한다.

만일 $\displaystyle a\in A$가 $\displaystyle f(a)=a$를 만족하면, $\displaystyle f(f(f(a)))=f(f(a))=f(a)=a$이므로 함수의 조건을 만족한다. 따라서 $\displaystyle f(a)\ne a$인 경우만 고려하면 된다. 이를 위해, $\displaystyle f(a)=a$를 만족하는 $\displaystyle a$의 개수로 함수를 분류해 보자.

각 경우를 살펴보기 위해 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$를 $\displaystyle A=\{1,2,3,4\}$의 서로 다른 원소라고 하자.(i) $\displaystyle f(a)=a$인 $\displaystyle a$가 4개인 경우이 경우는 $\displaystyle A$의 모든 원소에 대해서 함숫값이 변하지 않으므로 $\displaystyle f$는 항등함수 한 가지 경우만 가능하고, 항등함수는 조건 $\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=x$를 만족한다.

(ii) $\displaystyle f(a)=a$인 $\displaystyle a$가 3개인 경우함수 $\displaystyle f$가 일대일 대응이므로, $\displaystyle f(a)=a$, $\displaystyle f(b)=b$, $\displaystyle f(c)=c$라면, $\displaystyle f(d)=d$일 수 밖에 없다. 따라서 이러한 함수는 존재하지 않는다.

(iii) $\displaystyle f(a)=a$인 $\displaystyle a$가 2개인 경우$\displaystyle f(a)=a$, $\displaystyle f(b)=b$이면 일대일대응 $\displaystyle f$가 항등함수가 되지 않기 위해서는 $\displaystyle f(c)=d$, $\displaystyle f(d)=c$여야 한다. 하지만, 이 경우 $\displaystyle f(f(f(c)))=f(f(d))=f(c)=d$이므로 조건을 만족하지 않는다.

(iv) $\displaystyle f(a)=a$인 $\displaystyle a$가 1개인 경우$\displaystyle f(b)=c$인 경우, $\displaystyle f(c)=b$라면 (iii)의 경우와 같이 함수 $\displaystyle f$의 조건을 만족하지 않는다. 따라서 $\displaystyle f(c)=d$, $\displaystyle f(d)=b$일 수 밖에 없다.이 경우 $\displaystyle a$가 될 수 있는 경우의 수 4가지, 나머지 세 개 중에서 가장 작은 값의 함숫값의 경우의 수는 2가지이므로, 총 8가지 경우가 있다.

(v) $\displaystyle f(a)=a$인 $\displaystyle a$가 없는 경우$\displaystyle f(a)=b$일 때, (iii)의 경우와 마찬가지로 $\displaystyle f(b)=a$는 될 수 없다. 따라서 $\displaystyle f(b)=c$가 되어야 하고, 함수 $\displaystyle f$의 조건을 만족하기 위해 $\displaystyle f(c)=f(f(b))=f(f(f(a)))=a$가 되어야 한다. 따라서 $\displaystyle f(d)=d$일 수 밖에 없다. 이는 조건에 맞지 않으므로, 이러한 함수는 존재하지 않는다.

위의 경우를 종합하면 모두 9개의 함수를 구할 수 있다.