자연계열 1번

원 $\displaystyle \mathrm{C}$와 직선 $\displaystyle \ell$의 교점은 연립방정식$\displaystyle \begin{cases}x^2+y^2=1\\y=mx+m\end{cases}$의 해이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 다음 이차방정식$\displaystyle x^2+(mx+m)^2=1\quad\Rightarrow\quad(m^2+1)x^2+2m^2x+m^2-1=0$의 두 근 중에서 더 큰 값이다. 이때 원 $\displaystyle \mathrm{C}$와 직선 $\displaystyle \ell$의 한 교점이 $\displaystyle (-1,0)$이므로, 방정식의 한 근은 $\displaystyle \alpha=-1$이고 근과 계수의 관계에 의해 다른 근 $\displaystyle \beta$는 $\displaystyle \alpha\beta=\frac{m^2-1}{m^2+1}$을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle \beta=\frac{1-m^2}{1+m^2}$이고 $\displaystyle \alpha=-1<\beta$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{1-m^2}{1+m^2}$이다. 또한 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{2m}{1+m^2}$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 직선 $\displaystyle y=1$ 사이의 거리 $\displaystyle f(m)$은 $\displaystyle f(m)=1-\frac{2m}{1+m^2}=\frac{(1-m)^2}{1+m^2}$이다.

한편 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle (0,m)$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 밑변을 $\displaystyle \mathrm{QR}$로 두면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 넓이 $\displaystyle g(m)$은 아래와 같다.$\displaystyle g(m)=\frac12\times(1-m)\times\left(\frac{1-m^2}{1+m^2}\right)=\frac{(1-m)^2(1+m)}{2(1+m^2)}$그러므로 $\displaystyle \lim_{m\to1-}\frac{f(m)}{g(m)}=\lim_{m\to1-}\frac2{1+m}=1$이다.