자연계열 4번

$\displaystyle a=f(b)$라 가정하면 조건 ①에 의해 $\displaystyle f(a)=f(f(b))=f(b)=a$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f$는 치역에서 항등함수이다. 또한 조건 ②에 의하여 치역은 집합 $\displaystyle \{1,2,3\}$의 부분집합이어야 한다. 따라서 다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다.

1) 치역의 원소가 1개인 경우이 경우 함수 $\displaystyle f$는 상수함수이며 치역은 $\displaystyle \{1\}$, $\displaystyle \{2\}$ 또는 $\displaystyle \{3\}$ 중 하나가 된다. 따라서 해당 조건을 만족시키는 함수의 개수는 3이다.

2) 치역의 원소가 2개인 경우예를 들어, $\displaystyle f$의 치역이 $\displaystyle \{1,2\}$라 가정하면 $\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(2)=2$이어야 한다. 한편 $\displaystyle f(3)$, $\displaystyle f(4)$, $\displaystyle f(5)$, $\displaystyle f(6)$은 각각 1 또는 2이므로 이 경우 함수 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle 2^4=16$개이다. 치역이 $\displaystyle \{1,3\}$, $\displaystyle \{2,3\}$인 경우도 마찬가지이므로, 해당 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $\displaystyle 16\cdot3=48$이다.

3) 치역의 원소가 3개인 경우치역이 $\displaystyle \{1,2,3\}$이므로 $\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(2)=2$, $\displaystyle f(3)=3$이고 $\displaystyle f(4)$와 $\displaystyle f(5)$, $\displaystyle f(6)$은 각각 1, 2 또는 3이 될 수 있다. 따라서 해당 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $\displaystyle 3^3=27$이다.

그러므로 조건을 모두 만족시키는 함수의 개수는 $\displaystyle 3+48+27=78$이다.