자연계열 3번

급수의 제$\displaystyle k$항까지의 부분합 $\displaystyle \sum_{n=1}^ka_n$을 $\displaystyle S_k$라 하자. 그러면 $\displaystyle a_{2n-1}=0$이고 $\displaystyle a_{2n}=a_n+n$이므로 부분합을 홀수항의 합과 짝수항의 합으로 나누어 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S_{128}&=\sum_{n=1}^{128}a_n=\sum_{n=1}^{64}a_{2n-1}+\sum_{n=1}^{64}a_{2n}=\sum_{n=1}^{64}(a_n+n)=S_{64}+\frac{64\cdot65}2\\S_{64}&=\sum_{n=1}^{64}a_n=\sum_{n=1}^{32}a_{2n-1}+\sum_{n=1}^{32}a_{2n}=\sum_{n=1}^{32}(a_n+n)=S_{32}+\frac{32\cdot33}2\\&\quad\vdots\\S_2&=S_1+\frac{1\cdot2}2\end{aligned}$위 식의 좌변과 우변을 각각 더하여 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S_{128}&=S_1+\frac{1\cdot2}2+\frac{2\cdot3}2+\cdots+\frac{32\cdot33}2+\frac{64\cdot65}2\\&=0+1+3+10+36+136+528+2080\\&=2794\end{aligned}$