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자연계열 2번

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숭실대 2026학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2026su/jayeon_2

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【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. (25점)

두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)를 이은 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}를 m:n\displaystyle m:n (m>0,n>0\displaystyle m>0,n>0)으로 내분하는 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 좌표는(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n)\displaystyle \left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)[출처 : 수학 「선분의 내분점과 외분점」]

수열 {xk}\displaystyle \{x_k\}는 첫째항이 0, 공차가 1n\displaystyle \frac1n인 등차수열이다(단, n\displaystyle n은 자연수). 점 Pk(xk,0)\displaystyle \mathrm{P}_k(x_k,0)과 함수 f(x)=∣2x−1∣e2x\displaystyle f(x)=|2x-1|e^{2x}의 그래프 위의 점 Gk+1(xk+1,f(xk+1))\displaystyle \mathrm{G}_{k+1}(x_{k+1},f(x_{k+1}))에 대하여 점 Hk\displaystyle \mathrm{H}_k는 선분 PkGk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{G}_{k+1}을 2:1\displaystyle 2:1로 내분하는 점이라고 하자. 삼각형 PkHkPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{H}_k\mathrm{P}_{k+1}의 넓이를 Ak\displaystyle A_k라고 할 때, lim⁡n→∞∑k=1nAk\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

숭실대 2026학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2026su/jayeon_2

+10점 · 수열 xk\displaystyle x_k와 함수 f(x)\displaystyle f(x), 내분점의 정의를 이용하여 점 Hk\displaystyle \mathrm{H}_k의 좌표를 계산하고, Pk\displaystyle \mathrm{P}_k, Gk+1\displaystyle \mathrm{G}_{k+1}, Hk\displaystyle \mathrm{H}_k의 좌표를 이용하여 삼각형의 넓이 Ak\displaystyle A_k의 식을 정확하게 묘사할 수 있다.

등차수열 {xk}\displaystyle \{x_k\}의 일반항은 xk=k−1n\displaystyle x_k=\frac{k-1}n이므로 Pk\displaystyle \mathrm{P}_k의 좌표는 (k−1n,0)\displaystyle \left(\frac{k-1}n,0\right)이고 Gk+1\displaystyle \mathrm{G}_{k+1}의 좌표는 (kn,f(kn))\displaystyle \left(\frac kn,f\left(\frac kn\right)\right)이다. 따라서 Hk\displaystyle \mathrm{H}_k의 좌표는 내분점의 정의에 의하여 다음과 같다.(2⋅kn+k−1n3,2f(kn)+03)=(3k−13n,23f(kn))\displaystyle \left(\frac{2\cdot\frac kn+\frac{k-1}n}{3},\frac{2f\left(\frac kn\right)+0}{3}\right)=\left(\frac{3k-1}{3n},\frac23f\left(\frac kn\right)\right)

그래프 위의 G와 내분점 H 및 삼각형의 넓이 A_k

삼각형 PkHkPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{H}_k\mathrm{P}_{k+1}의 밑변을 선분 PkPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{P}_{k+1}라고 하면 밑변의 길이는 1n\displaystyle \frac1n이고 높이는 Hk\displaystyle \mathrm{H}_k의 y\displaystyle y좌표인 23f(kn)\displaystyle \frac23f\left(\frac kn\right)이다. 따라서 Ak=13nf(kn)=13n∣2kn−1∣e2kn\displaystyle A_k=\frac1{3n}f\left(\frac kn\right)=\frac1{3n}\left|\frac{2k}n-1\right|e^{\frac{2k}n}이고lim⁡n→∞∑k=1nAk=lim⁡n→∞∑k=1n13f(kn)1n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac13f\left(\frac kn\right)\frac1n이다.

+15점 · 급수의 합 ∑k=1∞Ak\displaystyle \sum_{k=1}^\infty A_k을 정적분으로 바꾸어 올바르게 계산할 수 있다.

Caution. 합의 각 항이 n\displaystyle n에 따라 달라지는 경우, 합의 극한을 무한급수로 바꾸어 쓰지 않도록 주의해야 한다: 이 문제에서 Ak=13nf(kn)\displaystyle A_k=\frac1{3n}f\left(\frac kn\right)는 k\displaystyle k뿐 아니라 분할 수 n\displaystyle n에도 의존한다. 따라서 채점기준의 ∑k=1∞Ak\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}A_k는 문제에 제시된 lim⁡n→∞∑k=1nAk\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

한편, 닫힌구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 13f(x)\displaystyle \frac13f(x)는 연속이므로, 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여 아래 식이 성립한다.lim⁡n→∞∑k=1nAk=∫0113f(x) dx=∫0113∣2x−1∣e2x dx=13∫01/2(1−2x)e2x dx+13∫1/21(2x−1)e2x dx\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k&=\int_0^1\frac13f(x)\,dx=\int_0^1\frac13|2x-1|e^{2x}\,dx\\&=\frac13\int_0^{1/2}(1-2x)e^{2x}\,dx+\frac13\int_{1/2}^1(2x-1)e^{2x}\,dx\end{aligned}부분적분법으로 ∫(1−2x)e2x dx\displaystyle \int(1-2x)e^{2x}\,dx를 나타내면 다음과 같다.∫(1−2x)e2x dx=12(1−2x)e2x+∫e2x dx=12(1−2x)e2x+12e2x=(1−x)e2x\displaystyle \int(1-2x)e^{2x}\,dx=\frac12(1-2x)e^{2x}+\int e^{2x}\,dx=\frac12(1-2x)e^{2x}+\frac12e^{2x}=(1-x)e^{2x}이를 활용하여 아래와 같이 답을 얻는다.lim⁡n→∞∑k=1nAk=13[(1−x)e2x]01/2+13[(x−1)e2x]1/21=13(e2−1+0+e2)=e−13\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k&=\frac13\Biggl[(1-x)e^{2x}\Biggr]_0^{1/2}+\frac13\Biggl[(x-1)e^{2x}\Biggr]_{1/2}^1\\&=\frac13\left(\frac e2-1+0+\frac e2\right)=\frac{e-1}3\end{aligned}

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