자연계열 2번

등차수열 $\displaystyle \{x_k\}$의 일반항은 $\displaystyle x_k=\frac{k-1}n$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}_k$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{k-1}n,0\right)$이고 $\displaystyle \mathrm{G}_{k+1}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac kn,f\left(\frac kn\right)\right)$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{H}_k$의 좌표는 내분점의 정의에 의하여 다음과 같다.$\displaystyle \left(\frac{2\cdot\frac kn+\frac{k-1}n}{3},\frac{2f\left(\frac kn\right)+0}{3}\right)=\left(\frac{3k-1}{3n},\frac23f\left(\frac kn\right)\right)$

삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{H}_k\mathrm{P}_{k+1}$의 밑변을 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{P}_{k+1}$라고 하면 밑변의 길이는 $\displaystyle \frac1n$이고 높이는 $\displaystyle \mathrm{H}_k$의 $\displaystyle y$좌표인 $\displaystyle \frac23f\left(\frac kn\right)$이다. 따라서 $\displaystyle A_k=\frac1{3n}f\left(\frac kn\right)=\frac1{3n}\left|\frac{2k}n-1\right|e^{\frac{2k}n}$이고$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac13f\left(\frac kn\right)\frac1n$이다.

한편, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle \frac13f(x)$는 연속이므로, 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여 아래 식이 성립한다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k&=\int_0^1\frac13f(x)\,dx=\int_0^1\frac13|2x-1|e^{2x}\,dx\\&=\frac13\int_0^{1/2}(1-2x)e^{2x}\,dx+\frac13\int_{1/2}^1(2x-1)e^{2x}\,dx\end{aligned}$부분적분법으로 $\displaystyle \int(1-2x)e^{2x}\,dx$를 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \int(1-2x)e^{2x}\,dx=\frac12(1-2x)e^{2x}+\int e^{2x}\,dx=\frac12(1-2x)e^{2x}+\frac12e^{2x}=(1-x)e^{2x}$이를 활용하여 아래와 같이 답을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_k&=\frac13\Biggl[(1-x)e^{2x}\Biggr]_0^{1/2}+\frac13\Biggl[(x-1)e^{2x}\Biggr]_{1/2}^1\\&=\frac13\left(\frac e2-1+0+\frac e2\right)=\frac{e-1}3\end{aligned}$