자연계열 1번

삼차함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$라고 하자. 조건 (가)에 의하면,$\displaystyle \lim_{x\to0}x^3f(1/x)=\lim_{x\to0}x^3\left(\frac\alpha{x^3}+\frac\beta{x^2}+\frac\gamma{x}+\delta\right)=\alpha=2$즉, 최고차항의 계수가 2임을 알 수 있다.

또한 $\displaystyle f(x)$는 조건 (다)에 의해 어떤 실수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle (x-k)^2$를 인수로 가져야 한다. 즉, $\displaystyle f(x)=2(x-k)^2(x-m)$ 형태를 가진다.

조건 (나)의 첫 번째 경우로부터 $\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x+5)}{(f(x)+8)(x-2)}$의 극한값이 존재한다. 이때 분모의 극한값이 0이므로, 분자의 극한값도 0이 되어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim_{x\to2}f(x+1)=0$ 인데, $\displaystyle f(x)$는 연속함수이므로, $\displaystyle f(3)=0$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$는Correction. 예시답안에서 조건 (나)의 첫 극한을 옮긴 식은 $\displaystyle x\to-2$, 분모의 인수는 $\displaystyle x+2$로 적어야 한다. 이어지는 식도 $\displaystyle \lim_{x\to-2}f(x+5)=0$이다. 이로부터 얻은 $\displaystyle f(3)=0$과 최종 답은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle f(x)=2(x-3)^2(x-m)$　또는　$\displaystyle f(x)=2(x-k)^2(x-3)$　--------------- (Ⅰ)이다.

조건 (나)의 두 번째 경우로부터 $\displaystyle \lim_{x\to5}\frac{f(x+5)}{(f(x)+8)(x-2)}$의 극한값이 존재하지 않는다. 이때 분모와 분자 모두 연속함수이므로, 극한이 없는 경우는 분모의 극한값은 0이어야 한다. 이때 $\displaystyle \lim_{x\to5}(x-2)=3\ne0$이므로Correction. 예시답안에서 조건 (나)의 두 번째 극한을 옮긴 식도 분모의 인수를 $\displaystyle x+2$로 적어야 한다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to5}(x+2)=7\ne0$이다. 이후의 $\displaystyle f(5)=-8$과 최종 계산은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \lim_{x\to5}f(x)+8=0\quad\Rightarrow\quad f(5)=-8$이어야 한다. 이를 (Ⅰ)의 두 경우에 대입하면,$\displaystyle f(5)=2(5-3)^2(5-m)=8\cdot(5-m)=-8$, 또는 $\displaystyle f(5)=2(5-k)^2(5-3)=4(5-k)^2=-8$이다. 그런데 $\displaystyle (5-k)^2\ge0$이므로, 두 번째 형태는 불가능하고, 그러므로 $\displaystyle 8\cdot(5-m)=-8$, 곧 $\displaystyle m=6$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle f(x)=2(x-3)^2(x-6)$이고,$\displaystyle f(1)=2(1-3)^2(1-6)=2(-2)^2(-5)=-40$이다.